Страница 71 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

96 Вершины $A$, $C$, $B_1$ и $D_1$ куба соединены попарно отрезками. Докажите, что многогранник $ACB_1D_1$ является правильным.

1) Получившийся многогранник $ACB_1D_1$ — тетраэдр, а известно, что тетраэдр __________ выпуклым многогранником.

2) Все ребра многогранника $ACB_1D_1$ являются __________ куба, следовательно, они __________ между собой, а потому все грани многогранника $ACB_1D_1$ являются правильными __________

3) В каждой вершине __________ $ACB_1D_1$ сходится __________ количество __________, а именно __________ ребра.

Итак, у тетраэдра $ACB_1D_1$ __________ все признаки правильного многогранника, следовательно, этот тетраэдр __________ многогранник.

1) Получившийся многогранник $ACB_1D_1$ является тетраэдром, так как у него 4 вершины ($A, C, B_1, D_1$), 4 треугольные грани и 6 ребер. Любой тетраэдр является выпуклым многогранником, так как он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Таким образом, пропуск следует заполнить словом является.
Получившийся многогранник $ACB_1D_1$ — тетраэдр, а известно, что тетраэдр является выпуклым многогранником.

Ответ: является.

2) Ребра многогранника $ACB_1D_1$ (такие как $AC$, $AB_1$, $CD_1$ и т.д.) соединяют вершины куба, принадлежащие одной грани, и являются ее диагоналями. Таким образом, первое пропущенное слово — диагоналями. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда по теореме Пифагора длина каждой такой диагонали составляет $d = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Поскольку все грани куба — равные квадраты, то их диагонали равны между собой. Следовательно, все 6 ребер тетраэдра равны. Грани этого тетраэдра — это треугольники, все стороны которых равны ($a\sqrt{2}$), а значит, они являются правильными треугольниками.
Все ребра многогранника $ACB_1D_1$ являются диагоналями граней куба, следовательно, они равны между собой, а потому все грани многогранника $ACB_1D_1$ являются правильными треугольниками.

Ответ: диагоналями, равны, треугольниками.

3) Для того чтобы многогранник был правильным, в каждой его вершине должно сходиться одинаковое число ребер (и граней). В каждой вершине многогранника $ACB_1D_1$ сходится одинаковое количество ребер. Например, в вершине $A$ сходятся ребра $AB_1, AC$ и $AD_1$. Аналогично, в вершине $C$ — ребра $CA, CB_1, CD_1$, в вершине $B_1$ — ребра $B_1A, B_1C, B_1D_1$, а в вершине $D_1$ — ребра $D_1A, D_1C, D_1B_1$. Таким образом, в каждой вершине сходится по три ребра.
В каждой вершине многогранника $ACB_1D_1$ сходится одинаковое количество ребер, а именно три ребра.

Ответ: многогранника, одинаковое, ребер, три.

Итак, мы установили, что многогранник $ACB_1D_1$ является выпуклым, все его грани — равные между собой правильные треугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер. Это означает, что у тетраэдра $ACB_1D_1$ выполняются все признаки правильного многогранника. Следовательно, этот тетраэдр — правильный многогранник.
Итак, у тетраэдра $ACB_1D_1$ выполняются все признаки правильного многогранника, следовательно, этот тетраэдр — правильный многогранник.

Ответ: выполняются, правильный.

97 От куба отсечены 8 тетраэдров так, что все грани получившегося многогранника — правильные многоугольники. Является ли этот многогранник правильным?

Решение. Проверим наличие признаков, указанных в определении правильного

1) Данный многогранник __________ выпуклым.

2) В каждой вершине сходится ________ число ребер (_______ ребра).

3) Все грани — правильные __________, но не все они равны друг другу: треугольник _________ восьмиугольнику.

Следовательно, данный многогранник ___________ правильным.

Проверим наличие признаков, указанных в определении правильного многогранника.

1) Данный многогранник является выпуклым.

Обоснование: Исходный многогранник, куб, является выпуклым телом. Операция усечения вершин плоскостью у выпуклого многогранника не нарушает его выпуклости. Поэтому полученный многогранник также будет выпуклым. Это свойство соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: является.

2) В каждой вершине сходится одинаковое число ребер (три ребра).

Обоснование: Новые вершины многогранника образуются на рёбрах исходного куба. В каждой такой вершине сходятся три грани: одна треугольная (образовавшаяся на месте срезанной вершины) и две восьмиугольные (образовавшиеся из граней куба). Следовательно, в каждой вершине сходится три ребра. Благодаря симметрии куба, все вершины полученного многогранника эквивалентны, и в каждой из них сходится одинаковое число рёбер. Это свойство также соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: одинаковое, три.

3) Все грани — правильные многоугольники, но не все они равны друг другу: треугольник не равен восьмиугольнику.

Обоснование: По условию задачи, все грани — правильные многоугольники. Однако, эти грани двух разных видов. 8 граней — это правильные треугольники (на месте 8 срезанных вершин куба), и 6 граней — это правильные восьмиугольники (на месте 6 граней куба). Правильный треугольник и правильный восьмиугольник не конгруэнтны (не равны).

Ответ: многоугольники, не равен.

Следовательно, данный многогранник не является правильным.

Итоговый вывод: Правильный многогранник (платоново тело) должен иметь все грани в виде равных (конгруэнтных) друг другу правильных многоугольников. Поскольку у рассматриваемого многогранника это условие не выполняется (есть грани двух разных типов: треугольники и восьмиугольники), он не является правильным. Такой многогранник относится к классу полуправильных (архимедовых) тел и называется усечённым кубом.

Ответ: не является.