Страница 66 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

88 Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.

Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и параллельны, то $A_1B_1$ $AB$ ( параллельных плоскостей). Аналогично $B_1C_1$ $BC$, $A_1C_1$ $AC$ и $A_1O_1$ $AO$.

Поэтому $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}; $

$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}; $

$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A}. $

Итак, $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \text{_______} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2} $, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Пусть дана треугольная пирамида $MABC$ с вершиной $M$ и основанием $ABC$. $MO$ — ее высота. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает высоту в точке $O_1$ так, что по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на боковых ребрах $MA, MB, MC$ соответственно.

Так как плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $(ABC)$ параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также будут параллельны.

• Плоскость боковой грани $(MAB)$ пересекает параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $AB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.
• Аналогично, в плоскости $(MBC)$ имеем $B_1C_1 \parallel BC$.
• В плоскости $(MAC)$ имеем $A_1C_1 \parallel AC$.
• В плоскости $(MAO)$ имеем $A_1O_1 \parallel AO$.

Рассмотрим угол $AMO$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1O_1$ и $AO$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} $$Так как по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$, то и $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2}$.

Применим ту же теорему к другим углам, образованным боковыми ребрами:

• Для угла $AMB$ и параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$: $$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$
• Для угла $AMC$ и параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$: $$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$

Итак, мы показали, что все боковые ребра делятся плоскостью в одном и том же отношении:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{1}{2} $$Что и требовалось доказать.

Заполненный текст из упражнения:

Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ параллельны, то $A_1B_1 \underline{\parallel} AB$ (по свойству пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью). Аналогично $B_1C_1 \underline{\parallel} BC$, $A_1C_1 \underline{\parallel} AC$ и $A_1O_1 \underline{\parallel} AO$.

Поэтому $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$; $\frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}$;

$\frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{\underline{A_1A}}$.

Итак, $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{\underline{B_1B}} = \frac{\underline{MC_1}}{\underline{C_1C}} = \frac{MO_1}{\underline{O_1O}} = \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды и делящая ее высоту в отношении $1:2$ от вершины, делит и боковые ребра в том же отношении.

89 Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 10 см и боковым ребром 13 см пересечена плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты пирамиды.

а) Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.

б) Найдите апофему, высоту и площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Решение.

а) Пусть точка $O_1$ — середина высоты $MO$, плоскость $\alpha$ — секущая. Так как $\alpha$ ______ $ABC$, то плоскость $AMC$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым $AC$ и $a$. Проведем прямую $a$ и обозначим точки ее пересечения с ребрами $MC$ и ______ через $C_1$ и $A_1$. Аналогично плоскость $MBD$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым ______ и $B_1D_1$ ($B_1 \in MB, D_1 \in MD$). Соединим точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ последовательно отрезками и получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — искомое ______ пирамиды.

б) Проведем в грани $M$BC апофему $MH$ пирамиды $MABCD$. Тогда $H$ ______ ______ усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , то $O_1H_1 \parallel$ ______ . Но $MO_1 = O_1O$, следовательно, $MH_1 = H_1H$.

В треугольнике $MHC$ катет $MH = \sqrt{MC^2 - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - 5^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).

Поэтому $H_1H = \_\_\_\_\_\_ MH = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).

В треугольнике $MOH$ $O_1O = \_\_\_\_\_\_ MO = \frac{1}{2}\sqrt{MH^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{12^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).

Площадь боковой ______ ______ правильной усеченной ______ равна произведению ______ периметров ______ на ______.

$ABCD$ равен ______ $BC = 4 \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).

Найдем периметр основания $A_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , следовательно, плоскость $MBC$ пересекает их по ______ прямым, т. е. $B_1C_1$ ______ $BC$. Так как $MH_1$ ______ $H_1H$, то $B_1C_1$ — средняя ______ треугольника $MBC$, поэтому $B_1C_1 = \_\_\_\_\_\_ BC$. Следовательно, периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равен половине ______ четырехугольника $ABCD$, т. е. $P_1 = \frac{1}{2}P$ или

$P_1 = \_\_\_\_\_\_ \cdot 40 = \_\_\_\_\_\_$ (см).

Итак, $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + \_\_\_\_\_\_) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) \cdot \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см$^2$).

Ответ. б) Апофема ______ пирамиды равна ______ см, высота ______ см, площадь ______ поверхности — ______ (см$^2$).

а) Пусть точка $O_1$ — середина высоты пирамиды $MO$, а плоскость $\alpha$ — секущая плоскость. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости основания $ABC$.

Если плоскость (в нашем случае, боковая грань $AMC$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Плоскость $AMC$ пересекает плоскость основания $ABC$ по прямой $AC$. Следовательно, она пересечет плоскость $\alpha$ по прямой $a$, параллельной $AC$. Точки пересечения этой прямой $a$ с боковыми ребрами $MA$ и $MC$ обозначим как $A_1$ и $C_1$ соответственно.

Аналогично, плоскость боковой грани $MBD$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $ABC$ по параллельным прямым $B_1D_1$ и $BD$. Точки $B_1$ и $D_1$ лежат на ребрах $MB$ и $MD$.

Соединив последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, мы получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, который является искомым сечением пирамиды.

Ответ: Построение сечения описано выше. Сечением является квадрат $A_1B_1C_1D_1$, плоскость которого параллельна основанию пирамиды, а вершины лежат на боковых ребрах.

б) Найдем числовые значения для усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Нахождение апофемы и высоты.

Проведем в грани $MBC$ апофему $MH$ исходной пирамиды $MABCD$ ($H$ — середина $BC$). Так как пирамида правильная, $MH \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $MHC$ гипотенуза $MC=13$ см (боковое ребро), а катет $HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем апофему $MH$:
$MH = \sqrt{MC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину высоты $MO$, точку $O_1$. Из подобия треугольников $\triangle MO_1H_1$ и $\triangle MOH$ (где $H_1$ — точка пересечения $MH$ с плоскостью $\alpha$) следует, что $H_1$ — середина апофемы $MH$. Таким образом, апофема усеченной пирамиды $H_1H$ равна половине апофемы исходной пирамиды:
$H_1H = \frac{1}{2} MH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Для нахождения высоты рассмотрим прямоугольный треугольник $MOH$. Катет $OH$ — это расстояние от центра основания (квадрата) до его стороны, он равен половине стороны основания: $OH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем высоту исходной пирамиды $MO$:
$MO = \sqrt{MH^2 - OH^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$ см.

Высота усеченной пирамиды $O_1O$ равна половине высоты исходной пирамиды:
$O_1O = \frac{1}{2} MO = \frac{\sqrt{119}}{2}$ см.

2. Нахождение площади полной поверхности усеченной пирамиды.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн.осн.} + S_{верхн.осн.}$.

Площадь нижнего основания (квадрата $ABCD$):
$S_{нижн.осн.} = AB^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

Сторона верхнего основания $A_1B_1$ относится к стороне нижнего основания $AB$ как высоты соответствующих пирамид: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{MO_1}{MO} = \frac{1}{2}$. Отсюда, $A_1B_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Площадь верхнего основания (квадрата $A_1B_1C_1D_1$):
$S_{верхн.осн.} = (A_1B_1)^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Периметр нижнего основания: $P = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Периметр верхнего основания: $P_1 = 4 \cdot 5 = 20$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P + P_1) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(40 + 20) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 6 = 180$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 180 + 100 + 25 = 305$ см$^2$.

Ответ: Апофема усеченной пирамиды равна 6 см, высота усеченной пирамиды равна $\frac{\sqrt{119}}{2}$ см, площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна 305 см$^2$.