Страница 65 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

86 Боковое ребро правильной шести-угольной пирамиды равно 5 см, а сторо-на основания — 6 см. Найдите площади ее боковой и полной поверхностей.

Решение.

1) Площадь боковой поверхности пра-вильной пирамиды равна произведению __________ основания на __________, т. е. $S_{\text{бок}} = \text{______} \cdot q,$ где $q = MK = \sqrt{\text{______} - CK^2}, CK = \frac{1}{2}\text{______} = \text{______} \text{ (см).}$

Итак, $q = \sqrt{\text{______} - 3^2} = \sqrt{\text{______}} = \text{______} \text{ (см)}, P = 6 \cdot \text{______} = \text{______} \text{ (см)}, S_{\text{бок}} = \text{______} \cdot \text{______} = \text{______} \text{ (см}^2\text{).}$

2) $S_{\text{полн}} = \text{______} + S_{\text{осн}},$ где $S_{\text{осн}} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \text{______}^2\sqrt{3}}{2} = \text{______} \sqrt{3} \text{ (см}^2\text{).}$

Следовательно, $S_{\text{полн}} = \text{______} + \text{______} = \text{______} \text{ (см}^2\text{).}$

Ответ. $S_{\text{бок}} = \text{______} \text{ см}^2\text{, } S_{\text{полн}} = \text{______} \text{ см}^2\text{.}$

1) Для нахождения площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды ($S_{бок}$) воспользуемся формулой, согласно которой площадь боковой поверхности равна произведению полупериметра основания на апофему.

Формула: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot q$, где $P$ – периметр основания, а $q$ – апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем апофему $q$. Апофема (на рисунке – $MK$) является высотой боковой грани, которая представляет собой равнобедренный треугольник $MBC$. Боковые ребра $MC$ и $MB$ равны 5 см, а сторона основания $BC$ равна 6 см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание пополам.

$CK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$. По теореме Пифагора найдем апофему $q = MK$:

$q = \sqrt{MC^2 - CK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Далее найдем периметр основания $P$. Основание – это правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см.

$P = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot q = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 4 = 18 \cdot 4 = 72$ см².

2) Для нахождения площади полной поверхности ($S_{полн}$) необходимо сложить площадь боковой поверхности и площадь основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Площадь основания, которое является правильным шестиугольником со стороной $a=6$ см, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставляем наши значения:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см².

Следовательно, площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = 72 + 54\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S_{бок} = 72$ см², $S_{полн} = 72 + 54\sqrt{3}$ см².

87 Все ребра четырехугольной пирамиды равны между собой. Докажите, что пирамида правильная.

Доказательство.

1) Стороны четырехугольника $ABCD$ — основания пирамиды
$MABCD$ — между собой, следовательно, этот четырехугольник является .

2) Боковые ребра прамиды между собой, поэтому
около ее основания можно описать . Но ромб, вписанный в окружность, является , а точка $O$ пересечения диагоналей является его центром.

3) В треугольнике $AMC$ $AM$ $MC$, $AO$ $OC$, следовательно,
$MO$ $AC$. Аналогично в треугольнике $BMD$ $MO$ $BD$. Поэтому отрезок $MO$ — к плоскости основания пирамиды ( перпендикулярности прямой и плоскости).

Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е.
четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с
основания, является высотой пирамиды. В соответствии с
определением пирамида , что и требовалось
доказать.

1) Стороны четырехугольника ABCD — основания пирамиды MABCD — равны между собой, следовательно, этот четырехугольник является ромбом.

Ответ: равны, ромбом.

2) Боковые ребра пирамиды равны между собой, поэтому около ее основания можно описать окружность. Но ромб, вписанный в окружность, является квадратом, а точка O пересечения диагоналей является его центром.

Ответ: равны, окружность, квадратом.

3) В треугольнике AMC $AM = MC$, $AO = OC$, следовательно, $MO \perp AC$. Аналогично в треугольнике BMD $MO \perp BD$. Поэтому отрезок MO — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Ответ: $=$, $=$, $\perp$, $\perp$, перпендикуляр, по признаку.

Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е. правильный четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды. В соответствии с определением пирамида правильная, что и требовалось доказать.

Ответ: правильный, центром, правильная.