Страница 58 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 4 см, а сторона основания — 6 см. Найдите периметр сечения, проходящего через ребро $A_1B_1$ и точку $M$ — середину ребра $AC$.

Решение.

1) Основания призмы расположены в _______ плоскостях, следовательно, секущая плоскость пересекает плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по _______ прямым. Проведем через точку $M$ прямую $m$, _______ прямой $AB$. Обозначим точку пересечения прямых $m$ и $BC$ буквой $K$. $MK \parallel AB$, $AB$ _______ $A_1B_1$, следовательно, $MK$ _______ $A_1B_1$. Проведем отрезки $A_1M$ и _______. Четырехугольник _______ — искомое сечение.

2) Периметр четырехугольника $A_1B_1KM$ равен $A_1B_1 + _______ + MA_1$, где $A_1B_1 = _______$ см и $MK = _______$ см ($MK$ _______ линия треугольника $ABC$). Найдем длины отрезков $A_1M$ и $B_1K$. По определению правильной призмы ее основание _______ треугольник, а боковые ребра _______ к плоскости $ABC$. Следовательно, $AM = _______$ см и $AA_1$ _______ $BB_1K$.

Из прямоугольного $\triangle A_1AM$ находим: $A_1M = \sqrt{AA_1^2 + \text{_______}} = \sqrt{\text{_______} + 3^2} = \sqrt{\text{_______}} = \text{_______}$ (см).

Аналогично из прямоугольного _______ получаем: $B_1K = _______$ см.

Итак, $A_1B_1 + _______ + MA_1 = 6 + _______ = _______$ (см).

Ответ. Периметр сечения равен _______ см.

1) Основания призмы расположены в параллельных плоскостях, следовательно, секущая плоскость пересекает плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по параллельным прямым. Проведем через точку $M$ прямую $m$, параллельную прямой $AB$. Обозначим точку пересечения прямых $m$ и $BC$ буквой $K$. $MK \parallel AB$, $AB \parallel A_1B_1$, следовательно, $MK \parallel A_1B_1$. Проведем отрезки $A_1M$ и $B_1K$. Четырехугольник $A_1B_1KM$ — искомое сечение.

2) Периметр четырехугольника $A_1B_1KM$ равен $A_1B_1 + B_1K + KM + MA_1$, где $A_1B_1 = 6$ см и $MK = 3$ см ($MK$ — средняя линия треугольника $ABC$). Найдем длины отрезков $A_1M$ и $B_1K$. По определению правильной призмы ее основание — правильный треугольник, а боковые ребра перпендикулярны к плоскости $ABC$. Следовательно, $AM = 3$ см и $AA_1 \perp ABC$.

Из прямоугольного $\triangle A_1AM$ находим: $A_1M = \sqrt{AA_1^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ (см).

Аналогично из прямоугольного $\triangle B_1BK$ получаем: $B_1K = 5$ см.

Итак, $A_1B_1 + B_1K + KM + MA_1 = 6 + 5 + 3 + 5 = 19$ (см).

Ответ: Периметр сечения равен 19 см.