Страница 52 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

66 Заполните пропуски в предложении:

В выпуклом многограннике сумма всех __________ углов при __________ его вершине __________ $360^{\circ}$.

Данное предложение формулирует важную теорему о свойствах выпуклых многогранников. Чтобы заполнить пропуски, необходимо вспомнить эту теорему.

Речь идет о сумме углов граней, которые сходятся в одной вершине многогранника. Эти углы называются плоскими углами многогранного угла при данной вершине.

Теорема утверждает, что для любой вершины выпуклого многогранника сумма всех плоских углов, сходящихся в этой вершине, всегда меньше полного угла, то есть меньше $360^\circ$.

Почему это так? Если мы представим, что "разворачиваем" на плоскости все грани, сходящиеся в одной вершине, они не смогут полностью покрыть плоскость вокруг этой точки, не перекрывая друг друга. Если бы сумма углов была равна $360^\circ$, то все эти грани лежали бы в одной плоскости, образуя плоскую фигуру, а не трехмерный угол. Если бы сумма была больше $360^\circ$, то грани бы пересекались, и многогранник не был бы выпуклым.

Исходя из этого, заполним пропуски:

1. Первый пропуск: "сумма всех плоских углов...". Здесь указывается тип углов.
2. Второй пропуск: "...при каждой его вершине...". Это свойство выполняется для любой вершины.
3. Третий пропуск: "...вершине меньше $360^\circ$". Это ключевое условие теоремы.

Таким образом, полностью предложение звучит так: "В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше $360^\circ$".

Ответ: плоских, каждой, меньше.

67 Выпуклый многогранник имеет 8 вершин. Докажите, что сумма всех его плоских углов меньше $3200^\circ$.

Доказательство.

Так как данный выпуклый, то сумма всех плоских _________ при его вершине меньше _________ , следовательно, сумма всех его плоских _________ при восьми вершинах _________ $360^\circ \cdot$ _________ $=$ _________ , а это _________ $3200^\circ$, что и требовалось доказать.

Для доказательства данного утверждения необходимо заполнить пропуски в предложенном тексте, основываясь на свойствах выпуклых многогранников. Решение строится на ключевой теореме стереометрии о сумме плоских углов при вершине многогранника.

Доказательство.

Основной факт, который мы используем, это теорема о том, что сумма всех плоских углов при любой вершине выпуклого многогранника всегда строго меньше $360°$ (или $2\pi$ радиан).

В нашем случае многогранник имеет 8 вершин. Применим эту теорему к каждой из восьми вершин. Обозначим сумму плоских углов при $i$-ой вершине как $S_i$. Тогда для каждой вершины $i \in \{1, 2, ..., 8\}$ выполняется неравенство $S_i < 360°$.

Сумма всех плоских углов многогранника ($S_{общ}$) равна сумме углов при всех его вершинах: $S_{общ} = S_1 + S_2 + ... + S_8$.

Поскольку каждое слагаемое в этой сумме меньше $360°$, то и общая сумма будет строго меньше, чем произведение количества вершин на $360°$.

Таким образом, $S_{общ} < 8 \cdot 360°$.

Вычислим это предельное значение: $8 \cdot 360° = 2880°$.

Мы получили, что сумма всех плоских углов данного многогранника меньше $2880°$. Так как $2880° < 3200°$, то доказываемое утверждение является верным.

Теперь, основываясь на этих рассуждениях, мы можем полностью заполнить пропуски в тексте доказательства:

Так как данный многогранник выпуклый, то сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°, следовательно, сумма всех его плоских углов при восьми вершинах меньше $360° \cdot 8 = 2880°$, а это меньше $3200°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранника с 8 вершинами меньше $2880°$, что, в свою очередь, меньше $3200°$.

68 Заполните пропуски в определении призмы:

Многогранник, составленный из ____ многоугольников $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$, расположенных в ____ плоскостях, и ____ параллелограммов, называется ____.

Для того чтобы правильно заполнить пропуски, необходимо вспомнить определение n-угольной призмы. Призма — это многогранник, который состоит из двух оснований и боковой поверхности. Проанализируем каждый пропуск в определении.

1. Основаниями призмы служат два многоугольника, в данном случае это $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$. По определению, эти многоугольники должны быть равны друг другу. Следовательно, первый пропуск нужно заполнить словосочетанием «двух равных».

2. Равные многоугольники, являющиеся основаниями призмы, располагаются в двух плоскостях. Ключевым свойством призмы является то, что эти плоскости параллельны. Это гарантирует, что все боковые рёбра имеют одинаковую длину. Таким образом, во второй пропуск следует вписать слово «параллельных».

3. Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов, которые соединяют соответствующие стороны оснований (например, сторону $A_1A_2$ и $B_1B_2$). Количество таких параллелограммов равно количеству сторон у многоугольника в основании. Поскольку в основании лежит n-угольник (у него $n$ сторон), то и боковых граней будет $n$. В третий пропуск необходимо вставить «n».

4. Многогранник, который удовлетворяет всем перечисленным условиям, называется призмой. Название призмы уточняется в зависимости от формы её основания. Если в основании лежит n-угольник, то призма называется n-угольной. Следовательно, в последний пропуск нужно вписать «n-угольной призмой».

Таким образом, полное и верное определение звучит следующим образом:
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется n-угольной призмой.

Ответ: двух равных; параллельных; n; n-угольной призмой.