Номер 67, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

67 Выпуклый многогранник имеет 8 вершин. Докажите, что сумма всех его плоских углов меньше $3200^\circ$.

Доказательство.

Так как данный выпуклый, то сумма всех плоских _________ при его вершине меньше _________ , следовательно, сумма всех его плоских _________ при восьми вершинах _________ $360^\circ \cdot$ _________ $=$ _________ , а это _________ $3200^\circ$, что и требовалось доказать.

Для доказательства данного утверждения необходимо заполнить пропуски в предложенном тексте, основываясь на свойствах выпуклых многогранников. Решение строится на ключевой теореме стереометрии о сумме плоских углов при вершине многогранника.

Доказательство.

Основной факт, который мы используем, это теорема о том, что сумма всех плоских углов при любой вершине выпуклого многогранника всегда строго меньше $360°$ (или $2\pi$ радиан).

В нашем случае многогранник имеет 8 вершин. Применим эту теорему к каждой из восьми вершин. Обозначим сумму плоских углов при $i$-ой вершине как $S_i$. Тогда для каждой вершины $i \in \{1, 2, ..., 8\}$ выполняется неравенство $S_i < 360°$.

Сумма всех плоских углов многогранника ($S_{общ}$) равна сумме углов при всех его вершинах: $S_{общ} = S_1 + S_2 + ... + S_8$.

Поскольку каждое слагаемое в этой сумме меньше $360°$, то и общая сумма будет строго меньше, чем произведение количества вершин на $360°$.

Таким образом, $S_{общ} < 8 \cdot 360°$.

Вычислим это предельное значение: $8 \cdot 360° = 2880°$.

Мы получили, что сумма всех плоских углов данного многогранника меньше $2880°$. Так как $2880° < 3200°$, то доказываемое утверждение является верным.

Теперь, основываясь на этих рассуждениях, мы можем полностью заполнить пропуски в тексте доказательства:

Так как данный многогранник выпуклый, то сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°, следовательно, сумма всех его плоских углов при восьми вершинах меньше $360° \cdot 8 = 2880°$, а это меньше $3200°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранника с 8 вершинами меньше $2880°$, что, в свою очередь, меньше $3200°$.