Номер 73, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

73 Докажите, что призма, две смежные боковые грани которой — прямоугольники, является прямой призмой.

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости основания, следовательно, это ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию основания, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве, основываясь на определениях и свойствах призмы и перпендикулярности в пространстве. Ниже представлен полный текст доказательства с заполненными пропусками и подробное объяснение каждого шага.

Полный текст доказательства:

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и BC плоскости основания, следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию призмы, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.

Пошаговое объяснение:

1. По условию, боковая грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник. Это означает, что ее углы прямые, в частности $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Отсюда следует, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$ ($BB_1 \perp AB$). Аналогично, так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник, то $BB_1 \perp BC$. Таким образом, прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и BC.

2. Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости основания призмы и пересекаются в точке $B$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы.

3. По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу.

4. Мы доказали, что ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию. Так как все остальные боковые ребра параллельны ребру $BB_1$, они также перпендикулярны к основанию призмы. Это следует из свойства: если одна из нескольких параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и все остальные прямые перпендикулярны этой плоскости.

5. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, по определению является прямой призмой.

Ответ: перпендикулярна, BC, $BB_1$, ребра, перпендикулярно, перпендикулярны, призмы, прямой.