Страница 55 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

73 Докажите, что призма, две смежные боковые грани которой — прямоугольники, является прямой призмой.

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости основания, следовательно, это ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию основания, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве, основываясь на определениях и свойствах призмы и перпендикулярности в пространстве. Ниже представлен полный текст доказательства с заполненными пропусками и подробное объяснение каждого шага.

Полный текст доказательства:

Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и BC плоскости основания, следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию призмы, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.

Пошаговое объяснение:

1. По условию, боковая грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник. Это означает, что ее углы прямые, в частности $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Отсюда следует, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$ ($BB_1 \perp AB$). Аналогично, так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник, то $BB_1 \perp BC$. Таким образом, прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и BC.

2. Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости основания призмы и пересекаются в точке $B$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы.

3. По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу.

4. Мы доказали, что ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию. Так как все остальные боковые ребра параллельны ребру $BB_1$, они также перпендикулярны к основанию призмы. Это следует из свойства: если одна из нескольких параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и все остальные прямые перпендикулярны этой плоскости.

5. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, по определению является прямой призмой.

Ответ: перпендикулярна, BC, $BB_1$, ребра, перпендикулярно, перпендикулярны, призмы, прямой.

74 Постройте диагональное сечение прямого параллелепипеда (т. е. сечение, содержащее диагональ параллелепипеда и боковое ребро). Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.

Решение.

1) Рассмотрим, например, сечение, содержащее диагональ $A_1C$ и ребро $AA_1$. Секущая плоскость $AA_1C$ имеет с плоскостью грани $ABCD$ две общие точки ___, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ___, а отрезок ___ служит стороной сечения. Проведем этот отрезок.

Так как $AA_1$ ___ $CC_1$, то эти прямые лежат в плоскости сечения, а значит, отрезки $AA_1$ и ___ — стороны сечения. Наконец, отрезок ___ — четвертая сторона ___. Проведем этот отрезок.

Итак, искомое сечение — четырехугольник ___.

2) Так как боковые ребра параллелепипеда ___ и ___, то четырехугольник $AA_1C_1C$ — ___.

Данный параллелепипед прямой, поэтому ребро $AA_1$ ___ к плоскости основания, следовательно, $AA_1$ ___ $AC$, а потому параллелограмм $AA_1C_1C$ является _______, что и требовалось доказать.

1) Построение диагонального сечения

Построим сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда $A_1C$ и боковое ребро $AA_1$. Плоскость сечения однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $A_1$ и $C$.

Сначала найдем линию пересечения секущей плоскости $(AA_1C)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Обе плоскости содержат точки $A$ и $C$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, плоскости $(AA_1C)$ и $(ABCD)$ пересекаются по прямой $AC$. Отрезок $AC$ является стороной искомого сечения.

Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, в частности $AA_1 \parallel CC_1$. Так как секущая плоскость проходит через прямую $AA_1$ и точку $C$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$ и проходит через $C$, то прямая $CC_1$ также лежит в секущей плоскости. Таким образом, отрезки $AA_1$ и $CC_1$ являются сторонами сечения.

Соединяя последовательно вершины, получаем четырехугольник $AA_1C_1C$. Четвертой стороной сечения является отрезок $A_1C_1$, который соединяет точки $A_1$ и $C_1$.

Ответ: Искомое диагональное сечение — четырехугольник $AA_1C_1C$.

2) Доказательство, что сечение является прямоугольником

Докажем, что построенный четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Для этого нужно доказать, что это параллелограмм с прямым углом.

Так как $AA_1$ и $CC_1$ — боковые ребра параллелепипеда, они параллельны и равны: $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Четырехугольник $AA_1C_1C$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку является параллелограммом.

По условию задачи, данный параллелепипед является прямым. В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то есть $AA_1 \perp (ABCD)$.

Прямая $AC$ (диагональ основания) полностью лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AC$.

Таким образом, угол $\angle A_1AC$ параллелограмма $AA_1C_1C$ является прямым, то есть $\angle A_1AC = 90^\circ$. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, диагональное сечение $AA_1C_1C$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Сечение $AA_1C_1C$ является параллелограммом, у которого угол $\angle A_1AC$ прямой ($90^\circ$), так как боковое ребро $AA_1$ прямого параллелепипеда перпендикулярно основанию $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$ в этом основании. Поэтому $AA_1C_1C$ — прямоугольник.