Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

60 Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если $\angle BAD = 45^{\circ}$ и расстояние от точки B до плоскости ADM равно $4\sqrt{3}$ (задача 176 учебника).

Решение. Проведем перпендикуляр BP к плоскости ADM. Искомое расстояние от точки B до плоскости ADM - BP. Проведем высоту ромба BE. Тогда получим, что из точки B к плоскости ADM проведены перпендикуляр ___________ и наклонная ___________.

Следовательно, отрезок PE — проекция ___________ на ___________.

Прямая AD, лежащая в плоскости ADM, перпендикулярна к наклонной BE, а потому, согласно ___________, $AD \perp$ _________, и $\angle BEP$ — линейный угол __________, т. е. $\angle BEP = $ _________.

$\triangle BPE$ прямоугольный, так как ___________, причем $\angle BEP = $ _________, $BP = $ _________, поэтому $BE = $ _________.

$\triangle BAE$ прямоугольный: $\angle E = $ _________, $\angle A = $ _________, $BE = $ _________, следовательно, $AB = $ _________ = __________.

Ответ. ___________

Решение. Проведем перпендикуляр $BP$ к плоскости $ADM$. Искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ADM$ равно $BP$. По условию задачи $BP = 4\sqrt{3}$. Проведем высоту ромба $BE$ к стороне $AD$. Тогда из точки $B$ к плоскости $ADM$ проведены перпендикуляр $BP$ и наклонная $BE$. Следовательно, отрезок $PE$ — проекция наклонной $BE$ на плоскость $ADM$. Прямая $AD$, лежащая в плоскости $ADM$, перпендикулярна к наклонной $BE$ (так как $BE$ — высота). Поэтому, согласно теореме о трех перпендикулярах, $AD$ перпендикулярна и к проекции $PE$, то есть $AD \perp PE$. Угол $\angle BEP$ является линейным углом двугранного угла $BADM$, образованного плоскостями $ABC$ и $ADM$. По условию, этот угол равен $60^\circ$, т.е. $\angle BEP = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle BPE$. Он прямоугольный, так как $BP$ — перпендикуляр к плоскости $ADM$, а значит и к прямой $PE$, лежащей в этой плоскости ($BP \perp PE$). В этом треугольнике известны катет $BP = 4\sqrt{3}$ и противолежащий ему угол $\angle BEP = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $BE$: $BE = \frac{BP}{\sin(\angle BEP)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BAE$. Он прямоугольный, так как $BE$ — высота к $AD$, следовательно $\angle BEA = 90^\circ$. Угол $\angle BAE$ — это угол ромба $\angle BAD$, который по условию равен $45^\circ$. В этом треугольнике известны катет $BE = 8$ и противолежащий ему угол $\angle BAE = 45^\circ$. Найдем гипотенузу $AB$, которая является стороной ромба: $AB = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} = \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$.