Страница 41 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

47 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что диагональ куба $B_1D$ перпендикулярна к диагонали $AC$ его основания.

Доказательство.

Так как грани $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ — квадраты, то $B_1B \perp BA$ и $B_1B \perp BC$. Следовательно, $B_1B \perp ABC$ по ____________.

______________. Рассмотрим плоскость $B_1BD$. Поскольку $AC \perp BD$, так как ____________.

______________, и $AC \perp B_1B$, так как ____________, то $AC \perp$ _______ по ____________, а потому $AC \perp$ ____________.

Доказательство. Так как грани $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ — квадраты, то боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно ребрам основания $BA$ и $BC$ ($B_1B \perp BA$ и $B_1B \perp BC$). Прямые $BA$ и $BC$ являются пересекающимися прямыми в плоскости основания $ABC$. Следовательно, прямая $B_1B$ перпендикулярна плоскости $ABC$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим диагональную плоскость $B_1BD$. Поскольку $AC \perp BD$, так как диагонали квадрата ($ABCD$) взаимно перпендикулярны, и $AC \perp B_1B$, так как прямая $B_1B$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $AC$, то прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $B_1B$) в плоскости $B_1BD$. Следовательно, $AC \perp$ плоскости $B_1BD$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $B_1BD$. Прямая $B_1D$ (диагональ куба) лежит в этой плоскости. А потому, $AC \perp$ $B_1D$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано путем заполнения пропусков в предложенном доказательстве.

48 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой (задача 137 учебника).

Доказательство.

Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые, причем $a \perp b$. Докажем, что через прямую $b$ проходит плоскость, перпендикулярная к прямой $a$. Возьмем на прямой $b$ какую-нибудь точку $M$ и проведем через нее прямую $a_1$, параллельную прямой $a$. Так как $a_1 \parallel a$ и $a \perp b$, то $a_1 \perp$ ______.

Пересекающиеся прямые $a_1$ и $b$ определяют некоторую плоскость $\alpha$. Пусть прямая $c$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна к плоскости $\alpha$. Тогда $c \perp b$ и $c \perp$ ______.

Пересекающиеся прямые $b$ и $c$ определяют некоторую плоскость $\beta$. Поскольку $a_1 \perp b$ и $a_1 \perp c$, то $a_1 \perp$ ______ по ______, а так как $a \parallel a_1$, то $a \perp$ ______.

Итак, плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$ и перпендикулярна к ______ . Аналогично доказывается, что через прямую $a$ про- ходит ______.

Пусть $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые, причем $a \perp b$. Докажем, что через прямую $b$ проходит плоскость, перпендикулярная к прямой $a$.

Возьмем на прямой $b$ произвольную точку $M$ и проведем через нее прямую $a_1$, параллельную прямой $a$. Поскольку $a_1 \parallel a$ и по условию $a \perp b$, то по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей, $a_1 \perp b$.

Пересекающиеся прямые $a_1$ и $b$ задают единственную плоскость $\alpha$. Проведем через точку $M$ прямую $c$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $c \perp b$ и $c \perp a_1$.

Пересекающиеся прямые $b$ и $c$ задают единственную плоскость $\beta$. Прямая $a_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $b$ и $c$, лежащим в плоскости $\beta$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a_1$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a_1 \perp \beta$).

Поскольку $a \parallel a_1$ и $a_1 \perp \beta$, то по теореме о двух параллельных прямых и плоскости, прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Итак, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $b$ (так как прямые $b$ и $c$ лежат в $\beta$) и перпендикулярна к прямой $a$. Аналогичным образом можно доказать, что через прямую $a$ проходит плоскость, перпендикулярная к прямой $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.