Страница 38 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

43 Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости ромба, причем $OM = 6$ см, $AC = 16$ см, $BD = 4\sqrt{3}$ см. Найдите:

а) расстояние от точки M до вершин ромба;

б) расстояние от точки M до стороны DC.

Решение. а) Четырехугольник ABCD — ромб, а отрезки AC и BD — его диагонали, пересекающиеся в точке O, поэтому

$OA = \_\_\_\_\_\_\_$, $OB = \_\_\_\_\_\_\_$. Так как $MO \perp ABC$, то $MO \perp \_\_\_\_\_\_\_$ и $MO \perp \_\_\_\_\_\_\_$. В треугольниках $AMC$ и $BMD$ медиана $MO$ является \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ и \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, поэтому эти треугольники \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

т. е. А\_\_\_\_\_\_\_\_

Из прямоугольного треугольника $AOM$ с катетами $6$ см и $8$ см имеем: $MA = \_\_\_\_\_\_\_$.

Из прямоугольного треугольника $BOM$ находим: $MB = \_\_\_\_\_\_\_ $ см.

Итак, $MA = MC = \_\_\_\_\_\_\_$ см, $MB = MD = \_\_\_\_\_\_\_$ см.

б) В треугольнике $DMC$ проведем $MP \perp DC$ и рассмотрим плоскость $MOP$. Прямая $DC$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $MO$ и $OP$ этой плоскости, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $DC \perp MOP$, а потому перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $DC \perp OP$. $\triangle COD$ прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. $OP$ — его высота, поэтому $OP = \frac{CO \cdot OD}{DC} = \_\_\_\_\_\_\_$.

Ответ. а) \_\_\_\_\_\_\_ ; б) \_\_\_\_\_\_\_

а) Четырехугольник ABCD — ромб, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Найдем половины длин диагоналей: $OA = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см, $OB = OD = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. По условию, прямая OM перпендикулярна плоскости ромба ABC, следовательно, OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $OM \perp AC$ и $OM \perp BD$. В треугольнике AMC отрезок MO является одновременно медианой (поскольку O — середина AC) и высотой (поскольку $OM \perp AC$), поэтому треугольник AMC равнобедренный с основанием AC, и $MA = MC$. Аналогично, в треугольнике BMD отрезок MO является медианой и высотой, следовательно, треугольник BMD равнобедренный, и $MB = MD$. Расстояния от точки M до вершин ромба — это длины отрезков MA, MB, MC, MD. Найдем MA из прямоугольного треугольника AOM ($\angle AOM = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $MA = \sqrt{OM^2 + OA^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. Следовательно, $MA = MC = 10$ см. Найдем MB из прямоугольного треугольника BOM ($\angle BOM = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $MB = \sqrt{OM^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. Следовательно, $MB = MD = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: расстояния от точки M до вершин A и C равны 10 см, а до вершин B и D равны $4\sqrt{3}$ см.

б) Расстояние от точки M до стороны DC — это длина перпендикуляра MP, проведенного из точки M к прямой DC. Отрезок OM — перпендикуляр к плоскости ромба, MP — наклонная, а OP — ее проекция на плоскость ромба. Так как $MP \perp DC$ по построению, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция также перпендикулярна этой прямой: $OP \perp DC$. Таким образом, OP — высота прямоугольного треугольника COD (он прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, $\angle COD = 90^\circ$). Найдем сначала гипотенузу DC этого треугольника по теореме Пифагора: $DC = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 12} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$ см. Высоту OP, проведенную к гипотенузе, можно найти по формуле $OP = \frac{OC \cdot OD}{DC}$: $OP = \frac{8 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MOP ($\angle MOP = 90^\circ$, так как $OM \perp$ плоскости ромба). По теореме Пифагора найдем искомое расстояние MP: $MP = \sqrt{MO^2 + OP^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{64 \cdot 3}{19}} = \sqrt{36 + \frac{192}{19}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 19 + 192}{19}} = \sqrt{\frac{684 + 192}{19}} = \sqrt{\frac{876}{19}}$ см.
Ответ: $\sqrt{\frac{876}{19}}$ см.