Страница 37 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

42 В тетраэдре $MABC$ ребра $MA$ и $BC$ перпендикулярны, $P$ — точка ребра $AB$, причем $AP : AB = 2 : 3$, $Q$ — точка ребра $AC$ и $AQ : QC = 2 : 1$. Докажите, что $MA \perp PQ$.

$\Delta APQ \sim \Delta ABC$, так как _________.

. Поэтому $PQ \parallel$ _________, и угол между прямыми $MA$ и $PQ$ _________, т. е. $MA \perp$ _________.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $△APQ$ и $△ABC$, которые лежат в одной плоскости. По условию задачи даны следующие соотношения:

• Точка $P$ лежит на ребре $AB$ так, что $AP : AB = 2 : 3$. Это означает, что $\frac{AP}{AB} = \frac{2}{3}$.
• Точка $Q$ лежит на ребре $AC$ так, что $AQ : QC = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $AC$ состоит из $2+1=3$ частей, и на отрезок $AQ$ приходится 2 части. Следовательно, $\frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3}$.

2. Сравним треугольники $△APQ$ и $△ABC$. Угол $A$ у них является общим. Отношения сторон, прилежащих к этому углу, равны: $$ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3} $$ По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $△APQ \sim △ABC$.

3. Из подобия треугольников $△APQ \sim △ABC$ следует, что их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны. В частности, $∠APQ = ∠ABC$. Так как эти углы являются соответственными при прямых $PQ$ и $BC$ и секущей $AB$, то прямые $PQ$ и $BC$ параллельны: $PQ \parallel BC$.

4. По условию задачи, ребра $MA$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $MA \perp BC$. Это означает, что угол между скрещивающимися прямыми $MA$ и $BC$ равен $90^\circ$.

5. Поскольку $PQ \parallel BC$, угол между скрещивающимися прямыми $MA$ и $PQ$ равен углу между прямыми $MA$ и $BC$. Следовательно, угол между $MA$ и $PQ$ также равен $90^\circ$, что означает, что $MA \perp PQ$.

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Заполняя пропуски в предложенном в задаче доказательстве, получаем:

$△APQ \sim △ABC$, так как угол $A$ у них общий и $\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3}$. Поэтому $PQ \parallel$ $BC$, и угол между прямыми $MA$ и $PQ$ равен углу между прямыми $MA$ и $BC$, т. е. $MA \perp$ $PQ$.

Ответ: Утверждение $MA \perp PQ$ доказано.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна к двум __________ прямым, __________, то она __________

Дано: $a \perp p$, $a \perp q$, прямые $p$ и $q$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$ (рис. а).

Доказать: $a \perp \alpha$.

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ надо доказать, что $a \perp m$, где $m$ — __________

Рассмотрим два случая.

1) Пусть $O \in a$, $l \parallel m$ и $O \in l$, прямая $n$ пересекает прямые $p$, $q$ и $l$ в точках $P, Q, L$, $OA = OB$ (рис. б). Так как прямые $p$ и $q$ — серединные __________

и $AQ = $ __________ , и, следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по __________ , то $AP = $ __________

__________ . Поэтому $\angle APQ = $ __________ . Далее $\triangle APL = $

$= \triangle BPL$ по __________ , поэтому

$AL = $ __________ , а это означает, что $\triangle ABL$ — __________ и его медиана $LO$ является __________ , т. е. $LO \perp AB$ или $l \perp $ __________ . Так как $l \parallel m$ и $l \perp a$, то по лемме __________

$m \perp $ __________ . Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой плоскости $\alpha$, а это означает, что __________

2) Пусть $O \notin a$ (рис. в). Проведем $a_1 \parallel a$, $O \in a_1$. Тогда $a_1 \perp p$ и $a_1 \perp q$ по лемме __________

следовательно, $a_1 \perp \alpha$ согласно __________ и,

Итак, одна из параллельных прямых $a$ и $a_1$ перпендикулярна __________ , поэтому и вторая прямая __________ __________ , т. е. $a \perp $ __________ . Теорема доказана.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: $a \perp p$, $a \perp q$, прямые $p$ и $q$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$ (рис. а).

Доказать: $a \perp \alpha$.

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ надо доказать, что $a \perp m$, где $m$ — произвольная прямая, лежащая в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть $O \in a$, $l \parallel m$ и $O \in l$, прямая $n$ пересекает прямые $p, q$ и $l$ в точках $P, Q, L$, $OA = OB$ (рис. б). Так как прямые $p$ и $q$ — серединные перпендикуляры к отрезку $AB$, то $AP = BP$ и $AQ = \boldsymbol{BQ}$, и, следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трем сторонам. Поэтому $\angle APQ = \boldsymbol{\angle BPQ}$. Далее $\triangle APL = \boldsymbol{\triangle BPL}$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AL = \boldsymbol{BL}$, а это означает, что $\triangle ABL$ — равнобедренный и его медиана $LO$ является высотой, т. е. $LO \perp AB$ или $l \perp \boldsymbol{a}$. Так как $l \parallel m$ и $l \perp a$, то по лемме о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним прямой $m \perp \boldsymbol{a}$. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой плоскости $\alpha$, а это означает, что $\boldsymbol{a \perp \alpha}$.

Ответ: BQ; трем сторонам; $\angle BPQ$; $\triangle BPL$; двум сторонам и углу между ними; BL; равнобедренный; высотой; a; о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним прямой; a; $a \perp \alpha$.

2) Пусть $O \notin a$ (рис. в). Проведем $a_1 \parallel a$, $O \in a_1$. Тогда $a_1 \perp p$ и $a_1 \perp q$ по лемме о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним третьей прямой и, следовательно, $a_1 \perp \alpha$ согласно доказанному в пункте 1. Итак, одна из параллельных прямых $a$ и $a_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, поэтому и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости, т. е. $a \perp \boldsymbol{\alpha}$. Теорема доказана.

Ответ: о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним третьей прямой; доказанному в пункте 1; перпендикулярна; перпендикулярна этой плоскости; $\alpha$.