Теорема 7, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна к двум __________ прямым, __________, то она __________

Дано: $a \perp p$, $a \perp q$, прямые $p$ и $q$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$ (рис. а).

Доказать: $a \perp \alpha$.

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ надо доказать, что $a \perp m$, где $m$ — __________

Рассмотрим два случая.

1) Пусть $O \in a$, $l \parallel m$ и $O \in l$, прямая $n$ пересекает прямые $p$, $q$ и $l$ в точках $P, Q, L$, $OA = OB$ (рис. б). Так как прямые $p$ и $q$ — серединные __________

и $AQ = $ __________ , и, следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по __________ , то $AP = $ __________

__________ . Поэтому $\angle APQ = $ __________ . Далее $\triangle APL = $

$= \triangle BPL$ по __________ , поэтому

$AL = $ __________ , а это означает, что $\triangle ABL$ — __________ и его медиана $LO$ является __________ , т. е. $LO \perp AB$ или $l \perp $ __________ . Так как $l \parallel m$ и $l \perp a$, то по лемме __________

$m \perp $ __________ . Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой плоскости $\alpha$, а это означает, что __________

2) Пусть $O \notin a$ (рис. в). Проведем $a_1 \parallel a$, $O \in a_1$. Тогда $a_1 \perp p$ и $a_1 \perp q$ по лемме __________

следовательно, $a_1 \perp \alpha$ согласно __________ и,

Итак, одна из параллельных прямых $a$ и $a_1$ перпендикулярна __________ , поэтому и вторая прямая __________ __________ , т. е. $a \perp $ __________ . Теорема доказана.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: $a \perp p$, $a \perp q$, прямые $p$ и $q$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$ (рис. а).

Доказать: $a \perp \alpha$.

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ надо доказать, что $a \perp m$, где $m$ — произвольная прямая, лежащая в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть $O \in a$, $l \parallel m$ и $O \in l$, прямая $n$ пересекает прямые $p, q$ и $l$ в точках $P, Q, L$, $OA = OB$ (рис. б). Так как прямые $p$ и $q$ — серединные перпендикуляры к отрезку $AB$, то $AP = BP$ и $AQ = \boldsymbol{BQ}$, и, следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трем сторонам. Поэтому $\angle APQ = \boldsymbol{\angle BPQ}$. Далее $\triangle APL = \boldsymbol{\triangle BPL}$ по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AL = \boldsymbol{BL}$, а это означает, что $\triangle ABL$ — равнобедренный и его медиана $LO$ является высотой, т. е. $LO \perp AB$ или $l \perp \boldsymbol{a}$. Так как $l \parallel m$ и $l \perp a$, то по лемме о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним прямой $m \perp \boldsymbol{a}$. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна к любой прямой плоскости $\alpha$, а это означает, что $\boldsymbol{a \perp \alpha}$.

Ответ: BQ; трем сторонам; $\angle BPQ$; $\triangle BPL$; двум сторонам и углу между ними; BL; равнобедренный; высотой; a; о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним прямой; a; $a \perp \alpha$.

2) Пусть $O \notin a$ (рис. в). Проведем $a_1 \parallel a$, $O \in a_1$. Тогда $a_1 \perp p$ и $a_1 \perp q$ по лемме о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним третьей прямой и, следовательно, $a_1 \perp \alpha$ согласно доказанному в пункте 1. Итак, одна из параллельных прямых $a$ и $a_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, поэтому и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости, т. е. $a \perp \boldsymbol{\alpha}$. Теорема доказана.

Ответ: о двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним третьей прямой; доказанному в пункте 1; перпендикулярна; перпендикулярна этой плоскости; $\alpha$.