Номер 37, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

37 а) Постройте сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $AEF$, где точка $E$ принадлежит ребру $BC$, а $F$ — внутренняя точка грани $DCC_1D_1$.

б) Укажите точку пересечения диагонали $DB_1$ параллелепипеда с секущей плоскостью.

Решение.

а) Пусть прямая $AE$ пересекает продолжение ребра __________ в некоторой точке __________, тогда прямая __________ лежит в плоскости __________ и пересекает ребра __________ в некоторых точках __________.

Итак, искомое сечение __________.

б) Пусть прямые $BD$ и $AE$ пересекаются в некоторой точке $P$. Тогда прямые __________ и __________ лежат в плоскости $DBB_1$ и __________ .

Построение сечения проведем в несколько этапов, используя метод следов.

1. Точки $A$ и $E$ лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCD$. Соединим их отрезком. Отрезок $AE$ является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. В плоскости основания $ABCD$ продлим прямую $AE$ до пересечения с прямой, содержащей ребро $DC$. Обозначим точку их пересечения буквой $K$. Так как прямая $AE$ целиком лежит в секущей плоскости, то и точка $K$ принадлежит секущей плоскости.

3. Теперь в плоскости задней грани $DCC_1D_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $F$ (по условию) и точка $K$ (по построению). Проведем через них прямую $KF$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости $DCC_1D_1$. Прямая $KF$ пересечет ребра $CC_1$ и $DD_1$ в точках $H$ и $G$ соответственно. Отрезок $GH$ — это след секущей плоскости на грани $DCC_1D_1$.

4. Мы получили четыре точки, принадлежащие секущей плоскости и лежащие на ребрах параллелепипеда: $A$, $E$, $H$ и $G$. Последовательно соединим их. Отрезок $EH$ лежит в грани $BCC_1B_1$, а отрезок $AG$ — в грани $ADD_1A_1$.

В результате получаем искомое сечение — четырехугольник $AEHG$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEHG$.

Чтобы найти точку пересечения прямой (диагонали $DB_1$) и плоскости (сечения $AEHG$), воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

1. Выберем вспомогательную плоскость, которая проходит через диагональ $DB_1$. Наиболее удобной является диагональная плоскость $DBB_1D_1$.

2. Найдем прямую пересечения секущей плоскости $AEHG$ и вспомогательной плоскости $DBB_1D_1$. Для этого необходимо найти две общие точки этих плоскостей.

3. Первой общей точкой является точка $G$. По построению, точка $G$ принадлежит ребру $DD_1$, а значит, и плоскости $DBB_1D_1$. Также точка $G$ является точкой сечения, то есть $G \in AEHG$.

4. Вторую общую точку найдем в плоскости основания $ABCD$. В этой плоскости лежат прямая $AE$ (которая принадлежит секущей плоскости) и диагональ основания $BD$ (которая принадлежит вспомогательной плоскости). Точка их пересечения, назовем ее $P$, принадлежит обеим плоскостям: $P \in AEHG$ и $P \in DBB_1D_1$.

5. Таким образом, прямая $GP$ является линией пересечения секущей плоскости $AEHG$ и вспомогательной плоскости $DBB_1D_1$.

6. Искомая точка пересечения диагонали $DB_1$ с плоскостью $AEHG$ должна лежать одновременно на диагонали $DB_1$ и в плоскости $AEHG$. Поскольку $DB_1 \subset DBB_1D_1$, то искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $AEHG$ и $DBB_1D_1$, то есть на прямой $GP$.

7. Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямых $DB_1$ и $GP$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $DBB_1D_1$ и, в общем случае, пересекаются.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $DB_1$ с прямой $GP$, где $G$ — точка пересечения секущей плоскости с ребром $DD_1$, а $P$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BD$.