Номер 34, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

34 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ лежит на ребре $AD$, $T$ — внутренняя точка грани $CC_1D_1D$.

а) Через точку $T$ проведите плоскость $\alpha$, параллельную плоскости $B_1BF$.

б) Постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1$.

Решение.

а) Проведем $PT \parallel$ __________ и $PN \parallel$ __________.

Прямые $PT$ и $PN$ задают __________.

б) Прямая $NP$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и __________, причем прямая $NP$ пересекает прямую $AD$ в некоторой точке $Q$, и так как прямая $AD$ лежит в плоскости $AA_1D_1$, то точка $Q$ является общей точкой двух плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой $QQ_1$, проходящей через точку $Q$ и параллельной прямой __________.

Итак, $QQ_1$ — линия пересечения плоскостей __________ и __________.

а) Для того чтобы через точку T провести плоскость $\alpha$, параллельную плоскости $B_1BF$, необходимо построить две пересекающиеся прямые, образующие плоскость $\alpha$, которые будут соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в плоскости $B_1BF$. В качестве таких прямых в исходной плоскости удобно выбрать $B_1B$ и $BF$.

1. Построение первой прямой. Через точку T, которая принадлежит грани $CC_1D_1D$, проведем прямую, параллельную ребру $B_1B$. Так как в параллелепипеде боковые ребра параллельны ($B_1B \parallel C_1C$), эта прямая будет лежать в плоскости грани $CC_1D_1D$. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром $DC$ как P. Прямая, содержащая отрезок PT, параллельна $B_1B$.

2. Построение второй прямой. Через точку P, лежащую в плоскости основания $ABCD$, проведем прямую PN, параллельную прямой $BF$ (где N, как показано на рисунке, лежит на $BC$).

Две полученные пересекающиеся прямые (одна содержит PT, другая — PN) задают плоскость $\alpha$. По признаку параллельности двух плоскостей, так как $PT \parallel B_1B$ и $PN \parallel BF$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $B_1BF$.

Таким образом, заполняем пропуски в предложенном решении:

Проведем PT $ \parallel $ $B_1B$ и PN $ \parallel $ $BF$.

Прямые PT и PN задают плоскость $\alpha$.

Ответ: В пункте а) в первое и второе пропуски следует вписать $B_1B$ и $BF$ соответственно. В третий пропуск следует вписать плоскость $\alpha$.

б) Для построения линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $AA_1D_1$ найдем одну их общую точку и определим направление линии пересечения.

1. Нахождение общей точки. Прямая NP по построению является частью плоскости $\alpha$. Точки N и P лежат на ребрах $BC$ и $DC$ соответственно, то есть в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, вся прямая NP лежит в плоскости $ABCD$. Таким образом, NP — это линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости основания. Первый пропуск в тексте — это (ABCD).

Прямая AD также лежит в плоскости основания. Прямые NP и AD, лежащие в одной плоскости, пересекутся в некоторой точке Q (если они не параллельны). Точка Q принадлежит прямой NP, а значит, принадлежит плоскости $\alpha$. Точка Q принадлежит прямой AD, а значит, принадлежит плоскости $AA_1D_1$. Следовательно, Q — это общая точка плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$.

2. Определение направления. Известно, что если плоскость (в нашем случае $AA_1D_1$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $B_1BF$), то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения плоскостей $B_1BF$ и $AA_1D_1$ — это прямая, проходящая через их общую точку F и параллельная прямой $B_1B$ (так как $B_1B \parallel A_1A$, а прямая $A_1A$ лежит в плоскости $AA_1D_1$). Следовательно, искомая линия пересечения $QQ_1$ плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$ также должна быть параллельна $B_1B$. По построению в пункте а) мы провели прямую $PP_1$ параллельно $B_1B$. Таким образом, $QQ_1 \parallel PP_1$. Второй пропуск — это $PP_1$.

Итоговая строка констатирует, что $QQ_1$ является линией пересечения указанных плоскостей. Последние два пропуска — это $\alpha$ и $AA_1D_1$.

Ответ: В пункте б) в пропуски следует последовательно вписать (ABCD), $PP_1$, $\alpha$ и $AA_1D_1$.