Номер 36, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

36 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $D_1MN$.

б) Постройте линию пересечения секущей плоскости и плоскости $BD_1B_1$.

Решение.

а) Пусть прямая $MN$ пересекает продолжения ребер $AD$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$.

Тогда прямые $PD_1$ и $QD_1$ пересекают ребра __________ в некоторых точках __________

Итак, искомое сечение __________

б) Плоскости $D_1MN$ и $BDD_1$ имеют общую точку ______, а потому по аксиоме ______ пересекаются.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью D₁MN.

Для построения сечения воспользуемся методом следов. След секущей плоскости $D_1MN$ на плоскости нижнего основания (ABC) — это прямая MN, так как точки M и N лежат и в секущей плоскости, и в плоскости основания.

1. В плоскости основания (ABC) проведем прямую MN. Продлим ее до пересечения с продолжениями ребер AD и DC. Обозначим точки пересечения P и Q соответственно: $P = MN \cap AD$ и $Q = MN \cap DC$. Точки P и Q принадлежат секущей плоскости, так как лежат на прямой MN.

2. Теперь найдем точки пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$.

• Точка P лежит на прямой AD, следовательно, она принадлежит плоскости грани $ADD_1A_1$. Точка $D_1$ также принадлежит этой плоскости. Значит, прямая $PD_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $ADD_1A_1$. Эта прямая пересекает ребро $AA_1$ в некоторой точке K.
• Аналогично, точка Q лежит на прямой DC, следовательно, она принадлежит плоскости грани $DCC_1D_1$. Точка $D_1$ также принадлежит этой плоскости. Значит, прямая $QD_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $DCC_1D_1$. Эта прямая пересекает ребро $CC_1$ в некоторой точке L.

3. Мы нашли все точки пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда: M на AB, N на BC, L на $CC_1$, $D_1$ (вершина) и K на $AA_1$. Последовательно соединив эти точки, получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $KMNLD_1$.

б) Постройте линию пересечения секущей плоскости и плоскости BD₁B₁.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $D_1MN$ и $BDD_1B_1$, необходимо найти две их общие точки.

1. Плоскости $D_1MN$ и $BDD_1B_1$ имеют общую точку $D_1$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

2. Чтобы построить эту прямую, найдем вторую общую точку. Для этого рассмотрим пересечение прямых, лежащих в этих плоскостях. Прямая MN лежит в секущей плоскости $D_1MN$ и одновременно в плоскости основания (ABC). Диагональная плоскость $BDD_1B_1$ пересекает плоскость основания (ABC) по прямой BD.

3. Найдем точку пересечения прямых MN и BD, которые обе лежат в плоскости (ABC). Обозначим эту точку O.

• Поскольку точка O лежит на прямой MN, она принадлежит секущей плоскости $D_1MN$.
• Поскольку точка O лежит на прямой BD, она принадлежит диагональной плоскости $BDD_1B_1$.

Следовательно, точка O является второй общей точкой для плоскостей $D_1MN$ и $BDD_1B_1$.

4. Линия пересечения двух плоскостей проходит через их две общие точки. В нашем случае это точки $D_1$ и O.

Ответ: Линия пересечения плоскости $D_1MN$ и плоскости $BDD_1B_1$ — это прямая $D_1O$, где O — точка пересечения прямых MN и BD.