Номер 44, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

44 На рисунке $AF \perp ABC$, $BM \perp ABC$. Докажите, что линия пересечения плоскостей $AFC$ и $BMC$ параллельна прямым $AF$ и $BM$.

Доказательство.

Так как $AF \perp ABC$ и $BM \perp ABC$, то $AF \parallel \text{________}$, и, следовательно, $AF \parallel BMC$ по

. Плоскость $AFC$ проходит через прямую $AF$, параллельную плоскости $\text{________}$, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей $\text{________}$ параллельна прямой $\text{________}$. А так как $AF \parallel BM$, то по прямая $BM$ также параллельна

Доказательство.

По условию задачи дано, что прямые $AF$ и $BM$ перпендикулярны одной и той же плоскости $ABC$ ($AF \perp ABC$ и $BM \perp ABC$). Согласно свойству двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, они параллельны друг другу. Таким образом, $AF \parallel BM$.

Рассмотрим прямую $AF$ и плоскость $BMC$. Поскольку прямая $AF$ параллельна прямой $BM$ ($AF \parallel BM$), а прямая $BM$ лежит в плоскости $BMC$ ($BM \subset BMC$), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AF$ параллельна плоскости $BMC$.

Теперь рассмотрим пересечение плоскостей $AFC$ и $BMC$. Плоскость $AFC$ проходит через прямую $AF$, которая, как мы только что установили, параллельна плоскости $BMC$. Также известно, что плоскость $AFC$ пересекает плоскость $BMC$ (у них есть как минимум одна общая точка $C$).

Согласно теореме о линии пересечения плоскостей, если плоскость ($AFC$) проходит через прямую ($AF$), параллельную другой плоскости ($BMC$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения будет параллельна данной прямой ($AF$).

Обозначим линию пересечения плоскостей $AFC$ и $BMC$ как $l$. Тогда, согласно теореме, $l \parallel AF$.

Мы уже доказали, что $AF \parallel BM$. Так как линия пересечения $l$ параллельна $AF$, а $AF$ в свою очередь параллельна $BM$, то по свойству транзитивности параллельных прямых (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой) следует, что линия пересечения $l$ также параллельна прямой $BM$.

Таким образом, мы доказали, что линия пересечения плоскостей $AFC$ и $BMC$ параллельна как прямой $AF$, так и прямой $BM$.

Ответ: Утверждение доказано.