Номер 39, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

39 Точка $M$ лежит на ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $BDC_1$ (задача 115 учебника).

Решение.

В плоскости $BB_1C_1$ через точку $M$ проведем прямую $ME$, параллельную $BC_1$, $E \in CC_1$, а в плоскости $ABC$ через $M$ проведем прямую, параллельную $BD$ и пересекающую $AB$ в точке $F$. Плоскость $MEF$ параллельна плоскости $BDC_1$ по признаку параллельности плоскостей.

Следовательно, искомое сечение — треугольник $MEF$.

Для построения сечения, проходящего через точку $M$ и параллельного плоскости $BDC_1$, используется признак параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.Построим искомую плоскость, проведя через точку $M$ две прямые, параллельные двум прямым, лежащим в плоскости $BDC_1$, например, $BC_1$ и $BD$.

Построение прямой в плоскости $BB_1C_1$

В тексте решения пропущен фрагмент: «В плоскости $BB_1C_1$ через точку $M$ проведем прямую $ME$, параллельную _______, $E \in CC_1$».

Секущая плоскость и плоскость $BDC_1$ — параллельны по условию. Плоскость грани $BB_1C_1C$ пересекает плоскость $BDC_1$ по прямой $BC_1$. По свойству параллельных плоскостей, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $BB_1C_1C$ должна быть параллельна прямой $BC_1$. Так как сечение проходит через точку $M$, лежащую в этой грани, то в плоскости $BB_1C_1C$ мы проводим прямую $ME$ через точку $M$ параллельно прямой $BC_1$.
Ответ: $BC_1$.

Построение прямой в плоскости $ABC$

В тексте решения пропущен фрагмент: «...а в плоскости $ABC$ через _______ проведем прямую, _______ и пересекающую _______ в точке $F$».

Рассуждая аналогично, рассмотрим плоскость основания $ABC$. Плоскость $BDC_1$ пересекает ее по прямой $BD$. Следовательно, секущая плоскость должна пересекать плоскость $ABC$ по прямой, параллельной $BD$. Так как точка $M$ принадлежит плоскости $ABC$ (поскольку $M$ лежит на ребре $BC$), то эта прямая должна проходить через точку $M$. Проведя через точку $M$ прямую, параллельную $BD$, мы получим точку ее пересечения с ребром $CD$, которая обозначена как $F$.
Ответ: точку М; параллельную BD; ребро CD.

Обоснование параллельности плоскостей

В тексте решения пропущен фрагмент: «Плоскость $MEF$ параллельна плоскости _______ по _______.».

В результате построений мы получили плоскость $MEF$, которая проходит через две пересекающиеся в точке $M$ прямые $ME$ и $MF$. По построению, $ME \parallel BC_1$ и $MF \parallel BD$. Прямые $BC_1$ и $BD$ лежат в плоскости $BDC_1$. Таким образом, по признаку параллельности двух плоскостей, построенная нами плоскость $MEF$ параллельна исходной плоскости $BDC_1$.
Ответ: $BDC_1$; признаку параллельности двух плоскостей.