Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

38 a) Постройте сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $P$, $F$ и $M$ — середины ребер $AA_1$, $A_1B_1$ и $DC$.

б) Укажите точку пересечения диагонали $BD_1$ с секущей плоскостью.

Решение.

a) Пусть прямая $FP$ пересекает

Итак, искомое сечение —

б)

а)

Построение сечения выполняется пошагово с использованием аксиом и теорем стереометрии.

1. Точки P и F лежат в одной плоскости грани $AA_1B_1B$. Соединяем их отрезком. Отрезок PF — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$ и, следовательно, одна из сторон искомого сечения.
2. Для построения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$, воспользуемся методом следов. Прямые FP и AB лежат в одной плоскости ($AA_1B_1B$) и не параллельны (так как P — середина $AA_1$, а F — середина $A_1B_1$, то прямая FP не параллельна $AB$). Продлим отрезки FP и AB до их пересечения в точке K. Точка K принадлежит как секущей плоскости (поскольку лежит на прямой FP), так и плоскости основания (поскольку лежит на прямой AB).
3. Точка M по условию также принадлежит секущей плоскости и плоскости основания $ABCD$. Следовательно, прямая KM является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$.
4. Прямая KM пересекает ребро AD в некоторой точке N. Отрезок NM — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$ и еще одна сторона сечения.
5. Точки P и N лежат в одной плоскости грани $AA_1D_1D$. Соединяем их, получаем сторону сечения PN.
6. Далее используем свойство параллельности граней параллелепипеда: секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
   • Грани $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ через точку F прямую, параллельную NM. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в точке Q. Отрезок FQ — сторона сечения.
   • Грани $BB_1C_1C$ и $AA_1D_1D$ параллельны. Проведем в плоскости $BB_1C_1C$ через точку Q прямую, параллельную PN. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в точке R. Отрезок QR — сторона сечения.
7. Точки R и M лежат в одной плоскости грани $DD_1C_1C$. Соединяем их и получаем последнюю сторону сечения RM.

В результате построен шестиугольник PNFQRM, который является искомым сечением.

Можно также доказать, что точки N, Q, R являются серединами ребер AD, $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник PNFQRM, вершины которого последовательно соединяют середины ребер $AA_1, AD, DC, CC_1, C_1B_1, B_1A_1$.

б)

Требуется найти точку пересечения диагонали $BD_1$ с плоскостью построенного сечения PNFQRM.

1. Центр симметрии параллелепипеда O является серединой любой его большой (пространственной) диагонали. Таким образом, точка O является серединой диагонали $BD_1$.

2. Докажем, что плоскость сечения PNFQRM также проходит через центр симметрии параллелепипеда O. Для этого достаточно показать, что само сечение (шестиугольник PNFQRM) является центрально-симметричной фигурой относительно точки O.

3. Как было установлено при построении, вершины сечения являются серединами следующих ребер:

• P — середина $AA_1$
• N — середина $AD$
• M — середина $DC$
• R — середина $CC_1$
• Q — середина $B_1C_1$
• F — середина $A_1B_1$

4. При центральной симметрии относительно центра параллелепипеда O:

• Ребро $AA_1$ отображается на противолежащее ему ребро $CC_1$. Следовательно, середина $AA_1$ (точка P) отображается на середину $CC_1$ (точку R).
• Ребро $A_1B_1$ отображается на противолежащее ему ребро $CD$. Следовательно, середина $A_1B_1$ (точка F) отображается на середину $CD$ (точку M).
• Ребро $AD$ отображается на противолежащее ему ребро $B_1C_1$. Следовательно, середина $AD$ (точка N) отображается на середину $B_1C_1$ (точку Q).

5. Поскольку все вершины шестиугольника PNFQRM попарно симметричны относительно точки O (P↔R, F↔M, N↔Q), сам шестиугольник является центрально-симметричным относительно O. Это означает, что плоскость, содержащая этот шестиугольник, проходит через его центр симметрии O.

6. Так как и диагональ $BD_1$, и плоскость сечения PNFQRM проходят через одну и ту же точку O, то их точкой пересечения и является эта точка.

Ответ: Точка пересечения диагонали $BD_1$ с секущей плоскостью — это центр симметрии параллелепипеда, который является серединой диагонали $BD_1$.

39 Точка $M$ лежит на ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $BDC_1$ (задача 115 учебника).

Решение.

В плоскости $BB_1C_1$ через точку $M$ проведем прямую $ME$, параллельную $BC_1$, $E \in CC_1$, а в плоскости $ABC$ через $M$ проведем прямую, параллельную $BD$ и пересекающую $AB$ в точке $F$. Плоскость $MEF$ параллельна плоскости $BDC_1$ по признаку параллельности плоскостей.

Следовательно, искомое сечение — треугольник $MEF$.

Для построения сечения, проходящего через точку $M$ и параллельного плоскости $BDC_1$, используется признак параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.Построим искомую плоскость, проведя через точку $M$ две прямые, параллельные двум прямым, лежащим в плоскости $BDC_1$, например, $BC_1$ и $BD$.

Построение прямой в плоскости $BB_1C_1$

В тексте решения пропущен фрагмент: «В плоскости $BB_1C_1$ через точку $M$ проведем прямую $ME$, параллельную _______, $E \in CC_1$».

Секущая плоскость и плоскость $BDC_1$ — параллельны по условию. Плоскость грани $BB_1C_1C$ пересекает плоскость $BDC_1$ по прямой $BC_1$. По свойству параллельных плоскостей, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $BB_1C_1C$ должна быть параллельна прямой $BC_1$. Так как сечение проходит через точку $M$, лежащую в этой грани, то в плоскости $BB_1C_1C$ мы проводим прямую $ME$ через точку $M$ параллельно прямой $BC_1$.
Ответ: $BC_1$.

Построение прямой в плоскости $ABC$

В тексте решения пропущен фрагмент: «...а в плоскости $ABC$ через _______ проведем прямую, _______ и пересекающую _______ в точке $F$».

Рассуждая аналогично, рассмотрим плоскость основания $ABC$. Плоскость $BDC_1$ пересекает ее по прямой $BD$. Следовательно, секущая плоскость должна пересекать плоскость $ABC$ по прямой, параллельной $BD$. Так как точка $M$ принадлежит плоскости $ABC$ (поскольку $M$ лежит на ребре $BC$), то эта прямая должна проходить через точку $M$. Проведя через точку $M$ прямую, параллельную $BD$, мы получим точку ее пересечения с ребром $CD$, которая обозначена как $F$.
Ответ: точку М; параллельную BD; ребро CD.

Обоснование параллельности плоскостей

В тексте решения пропущен фрагмент: «Плоскость $MEF$ параллельна плоскости _______ по _______.».

В результате построений мы получили плоскость $MEF$, которая проходит через две пересекающиеся в точке $M$ прямые $ME$ и $MF$. По построению, $ME \parallel BC_1$ и $MF \parallel BD$. Прямые $BC_1$ и $BD$ лежат в плоскости $BDC_1$. Таким образом, по признаку параллельности двух плоскостей, построенная нами плоскость $MEF$ параллельна исходной плоскости $BDC_1$.
Ответ: $BDC_1$; признаку параллельности двух плоскостей.