Страница 24 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

32 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (задача 101 учебника).

Доказательство.

1) Пусть $M, N, P$ и $Q$ — середины ребер $DA, DC, BC$ и $AB$ тетраэдра $DABC$. Тогда отрезки $MQ$ и $NP$ — средние линии треугольников $DAB$ и $DBC$ соответственно и поэтому $MQ \parallel DB$ и $MQ = \frac{1}{2} DB$. $NP \parallel DB$ и $NP = \frac{1}{2} DB$. Следовательно, $MQ \parallel NP$ и $MQ = NP$, и, значит, четырехугольник $MNPQ$ — параллелограмм, а отрезки $MP$ и $NQ$ — его диагонали. Известно, что диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Отсюда следует, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противоположных ребер $DA$ и $BC$, $DC$ и $AB$ тетраэдра $DABC$, пересекаются и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

2) Теперь рассмотрим отрезки $NQ$ и $EF$, соединяющие середины противоположных ребер $CD$ и $AB$, $BD$ и $AC$. Как и в п. 1, можно доказать, что четырехугольник $ENFQ$ — параллелограмм, и, следовательно, его диагонали $EF$ и $NQ$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, т. е. в точке $O$.

Итак, точка $O$ является серединой отрезков $MP, NQ$ и $EF$, что и требовалось доказать.

1) Пусть M, N, P и Q — середины ребер DA, DC, BC и AB тетраэдра DABC. Тогда отрезки MQ и NP — средние линии треугольников DAB и DCB соответственно, и поэтому MQ || DB и MQ = $ \frac{1}{2}DB $, NP || DB и NP = $ \frac{1}{2}DB $. Следовательно, MQ || NP и MQ = NP, и, значит, четырехугольник MNPQ — параллелограмм, а отрезки MP и NQ — его диагонали. Отсюда следует, что отрезки MP и NQ, соединяющие середины противоположных ребер DA и BC, DC и AB тетраэдра DABC, пересекаются и точкой пересечения O делятся пополам.

Ответ: линии треугольников DAB и DCB соответственно; DB; $ \frac{1}{2}DB $; DB; $ \frac{1}{2}DB $; NP; NP; параллелограмм; диагонали; DA; BC; DC; AB.

2) Теперь рассмотрим отрезки NQ и EF, соединяющие середины противоположных ребер CD и AB, BD и AC. Как и в п. 1, можно доказать, что четырехугольник ENFQ — параллелограмм и, следовательно, его диагонали EF и NQ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, т. е. в точке O.

Итак, точка O является серединой отрезков MP, NQ и EF, что и требовалось доказать.

Ответ: параллелограмм; делятся точкой пересечения пополам; O.