Страница 22 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

29 На ребрах $AC$ и $BC$ тетраэдра $SABC$

отмечены точки $P$ и $K$, а на продолжении ребра $SC$ — точка $T$. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$.

Р е ш е н и е. Поскольку точки $T$ и $P$ лежат в плоскости ______, то прямая $TP$

лежит ______ и пересекает ребро ______ в некоторой

______ . Аналогично прямая $TK$

лежит в плоскости ______ и пересекает

ребро ______ .

Следовательно, сечением тетраэдра $SABC$

плоскостью $PKT$ является ______

Проведите указанные прямые и постройте искомое сечение.

Решение.

Поскольку точки $T$ и $P$ лежат в плоскости (SAC), то прямая $TP$ лежит в этой же плоскости и пересекает ребро SA в некоторой точке. Аналогично прямая $TK$ лежит в плоскости (SBC) и пересекает ребро SB. Следовательно, сечением тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$ является четырехугольник.

Ответ: (SAC); в этой же плоскости; SA; точке; (SBC); SB; четырехугольник.

Проведите указанные прямые и постройте искомое сечение.

Построение искомого сечения выполняется в несколько шагов:

1. Точки $P$ и $K$ лежат на ребрах $AC$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(ABC)$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком $PK$. Этот отрезок является стороной искомого сечения.

2. Точки $P$ и $T$ лежат в плоскости грани $(SAC)$ (точка $P$ на ребре $AC$, точка $T$ на продолжении ребра $SC$). Проведем прямую через эти две точки. Прямая $PT$ пересечет ребро $SA$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $M$. Отрезок $MP$ — еще одна сторона сечения. Таким образом, $M = PT \cap SA$.

3. Аналогично, точки $K$ и $T$ лежат в плоскости грани $(SBC)$ (точка $K$ на ребре $BC$, точка $T$ на продолжении ребра $SC$). Проведем прямую через эти две точки. Прямая $KT$ пересечет ребро $SB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $NK$ — третья сторона сечения. Таким образом, $N = KT \cap SB$.

4. Точки $M$ и $N$, полученные в предыдущих шагах, лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, то есть принадлежат одной грани $(SAB)$. Соединяем их отрезком $MN$, который является последней стороной сечения.

В результате последовательного соединения точек $M$, $P$, $K$, $N$ получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$ является четырехугольник $MPKN$.

30 В тетраэдре $SABC$ точки $D$, $E$ и $F$ являются серединами ребер $SA$, $AB$ и $BC$, $AC = 32$ см, $SB = 40$ см, угол между прямыми $AC$ и $SB$ равен $90^\circ$.

a) Докажите, что плоскость $DEF$ проходит через середину $P$ ребра $SC$.

б) Найдите площадь четырехугольника $DEFP$.

Решение.

a) $EF$ — средняя линия треугольника ______, поэтому $EF \parallel$ ______, и по признаку ______ $EF \parallel ASC$.

Плоскости $ASC$ и $DEF$ имеют общую точку $D$ и потому, согласно ______, имеют общую прямую, проходящую через точку ______. Обозначим эту прямую буквой $a$. Так как плоскость $DEF$ проходит через прямую $EF$, параллельную плоскости ______, и пересекает эту плоскость по прямой ______, то $a \parallel$ ______. Мы получили, что $AC \parallel EF$ и $a \parallel EF$, откуда следует по ______, что $a \parallel AC$.

Рассмотрим $\triangle ASC$. Точка $D$ — середина стороны ______, прямая $a$, проходящая через точку $D$, параллельна ______, следовательно, прямая $a$ пересекает сторону $SC$ в точке $P$ — середине ______. Тем самым мы доказали, что плоскость $DEF$ проходит через середину $P$ ребра ______.

б) Четырехугольник $DEFP$ — параллелограмм, так как ______, причем $EF = ______$, а $DE = ______$, так как $DE$ — средняя ______.

Рассмотрим угол $DEF$. Его стороны $ED$ и $EF$ соответственно параллельны прямым $BS$ и $AC$, угол между которыми по условию равен $90^\circ$. Поэтому и $\angle DEF = ______$, и, значит, параллелограмм $DEFP$ является ______.

$S_{DEFP} = DE \cdot ______ = ______ \text{ см}^2 = ______ \text{ см}^2$

Ответ. б) ______.

а) EF — средняя линия треугольника ABC, так как точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. По свойству средней линии, $EF \parallel AC$. Поскольку прямая AC лежит в плоскости ASC, то по признаку параллельности прямой и плоскости, $EF \parallel ASC$.

Плоскости ASC и DEF имеют общую точку D (середина SA), следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим эту прямую пересечения буквой a.

Так как плоскость DEF проходит через прямую EF, которая параллельна плоскости ASC, и пересекает плоскость ASC по прямой a, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения a параллельна прямой EF ($a \parallel EF$).

Мы имеем $a \parallel EF$ и $EF \parallel AC$. По свойству транзитивности (теорема о двух прямых, параллельных третьей), следует что $a \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник ASC. Прямая a проходит через точку D (середину стороны SA) и параллельна стороне AC. По теореме Фалеса, прямая a пересекает третью сторону SC в её середине. Обозначим эту точку пересечения как P.

Таким образом, точка P является серединой ребра SC, и эта точка лежит на прямой a, которая принадлежит плоскости DEF. Следовательно, плоскость DEF проходит через середину P ребра SC, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что плоскость DEF проходит через середину P ребра SC.

б) Рассмотрим четырехугольник DEFP.

• DE — средняя линия треугольника SAB, так как D и E — середины SA и AB. Следовательно, $DE \parallel SB$ и $DE = \frac{1}{2}SB$.
• FP — средняя линия треугольника SBC, так как F и P — середины BC и SC. Следовательно, $FP \parallel SB$ и $FP = \frac{1}{2}SB$.

Из этого следует, что $DE \parallel FP$ и $DE = FP$. По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), DEFP является параллелограммом.

Найдем угол этого параллелограмма. Сторона EF является средней линией треугольника ABC, поэтому $EF \parallel AC$. Угол $\angle DEF$ образован сторонами DE и EF. Так как $DE \parallel SB$ и $EF \parallel AC$, то угол между прямыми DE и EF равен углу между скрещивающимися прямыми SB и AC. По условию, этот угол равен $90^\circ$.

Следовательно, $\angle DEF = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Площадь прямоугольника DEFP равна произведению длин его смежных сторон DE и EF. $DE = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см. $EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$ см.

$S_{DEFP} = DE \cdot EF = 20 \cdot 16 = 320$ см².
Ответ: 320 см².