Страница 20 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

25 Через середины ребер $AB$ и $BC$ тетраэдра $SABC$ проведена плоскость, параллельная ребру $SB$. Докажите, что эта плоскость пересекает грани $SAB$ и $SBC$ по параллельным прямым (задача 69 учебника).

Доказательство.

Пусть $MNQ$ — плоскость, проходящая через середины $M$ и $N$ ребер $AB$ и $BC$ и параллельная ребру $SB$. Плоскость $SAB$ проходит через прямую $SB$, параллельную плоскости , и пересекает ее по прямой $MQ$, поэтому $MQ$ . Аналогично плоскость $SBC$ проходит

и пересекает , поэтому . Итак, $MQ \parallel SB$ и , поэтому , что и требовалось доказать.

Доказательство. Пусть MNQ — плоскость, проходящая через середины M и N ребер AB и BC и параллельная ребру SB. Плоскость SAB проходит через прямую SB, параллельную плоскости MNQ, и пересекает ее по прямой MQ, поэтому MQ $ \parallel $ SB. Аналогично плоскость SBC проходит через прямую SB и пересекает плоскость MNQ по прямой NP, поэтому NP $ \parallel $ SB. Итак, $MQ \parallel SB$ и $NP \parallel SB$, поэтому $MQ \parallel NP$, что и требовалось доказать.

Обоснование решения

Для заполнения пропусков в доказательстве используются следующие определения и теоремы стереометрии:

1. Теорема о пересечении двух плоскостей: Если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($c$) параллельна данной прямой ($a$).
   Кратко: Если $a \subset \beta$, $a \parallel \alpha$ и $\beta \cap \alpha = c$, то $c \parallel a$.
2. Свойство транзитивности параллельности прямых: Две прямые в пространстве, параллельные третьей, параллельны между собой.
   Кратко: Если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.

Применим эти положения к нашей задаче:

• Первая часть доказательства (грань SAB):
  • Дано, что секущая плоскость (названа MNQ) параллельна ребру SB ($SB \parallel MNQ$).
  • Грань SAB — это плоскость, которая проходит через ребро SB.
  • Следовательно, плоскость SAB проходит через прямую SB, параллельную плоскости MNQ.
  • Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой MQ.
  • Согласно теореме (1), линия их пересечения MQ параллельна SB. Поэтому в первом пропуске пишем MNQ, а во втором — $ \parallel $ SB.
• Вторая часть доказательства (грань SBC):
  • Рассуждения аналогичны. Грань SBC — это плоскость, которая проходит через ребро SB ($SB \subset SBC$).
  • Прямая SB по-прежнему параллельна плоскости MNQ.
  • Следовательно, линия пересечения плоскости SBC и плоскости MNQ также будет параллельна SB.
  • Эта линия пересечения проходит через точку N (т.к. N лежит и в грани SBC, и в плоскости MNQ). На рисунке эта линия обозначена как NP (где P — точка на ребре SC).
  • Поэтому в пропуски вписываем: "проходит через прямую SB и пересекает плоскость MNQ по прямой NP, поэтому NP $ \parallel $ SB".
• Заключение:
  • Из предыдущих шагов мы получили два утверждения: $MQ \parallel SB$ и $NP \parallel SB$.
  • Используя свойство транзитивности параллельности прямых (2), мы заключаем, что прямая MQ параллельна прямой NP ($MQ \parallel NP$).
  • Это и требовалось доказать. Поэтому в последних пропусках пишем $NP \parallel SB$ и $MQ \parallel NP$.

Ответ:
Доказательство. Пусть MNQ — плоскость, проходящая через середины M и N ребер AB и BC и параллельная ребру SB. Плоскость SAB проходит через прямую SB, параллельную плоскости MNQ, и пересекает ее по прямой MQ, поэтому MQ $ \parallel $ SB. Аналогично плоскость SBC проходит через прямую SB и пересекает плоскость MNQ по прямой NP, поэтому NP $ \parallel $ SB. Итак, $MQ \parallel SB$ и $NP \parallel SB$, поэтому $MQ \parallel NP$, что и требовалось доказать.

26 В тетраэдре $SABC$ точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$, а точка $T$ — на продолжении ребра $BC$. Постройте:

а) точку пересечения прямых $MK$ и $SC$;

б) точку пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$.

Р е ш е н и е.

а) Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки ___________, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________. И так, _________ — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.

б) Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки ___________. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка _________ $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке __________.

а)

Для построения точки пересечения прямых $MK$ и $SC$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Заметим, что обе прямые, $MK$ и $SC$, лежат в одной плоскости $(SBC)$. Это следует из того, что точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $SBC$. Прямая $SC$ также является ребром этой грани.

2. Так как прямые $MK$ и $SC$ лежат в одной плоскости и, судя по рисунку, не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.

3. Для нахождения этой точки необходимо построить прямые, проходящие через точки $M, K$ и $S, C$, и найти их точку пересечения. Обозначим эту точку буквой $P$. Точка $P$ является искомой.

Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:

Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки M и K лежат на её ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке P. Итак, P — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $SC$, лежащих в плоскости $(SBC)$.

б)

Для построения точки пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$ воспользуемся методом вспомогательной секущей плоскости:

1. Проведём через прямую $TM$ вспомогательную плоскость. Точка $T$ лежит на продолжении ребра $BC$, а точка $M$ — на ребре $SB$. Прямые $BC$ и $SB$ определяют плоскость $(SBC)$. Следовательно, прямая $TM$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.

2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(SBC)$ и данной плоскости $(ASC)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $C$, значит, они пересекаются по прямой $SC$.

3. Точка пересечения исходной прямой $TM$ и данной плоскости $(ASC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся, то есть на прямой $SC$.

4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $TM$ и $SC$. Построим прямую $TM$ и найдём её точку пересечения с прямой $SC$. Обозначим эту точку буквой $F$.

Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:

Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки T и M лежат на прямых $BC$ и $SB$, принадлежащих этой плоскости. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке F, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка F $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке F.

Ответ: Искомая точка $F$ является точкой пересечения прямой $TM$ с прямой $SC$.