Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

33 На ребрах $DD_1$ и $CC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $P$ и $F$.

Постройте точку пересечения:

а) прямой $PF$ с плоскостью $ABC$;

б) прямой $BF$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Р е ш е н и е.

а) Поскольку точки $P$ и $F$ лежат в плоскости $DD_1C_1$, то прямая $PF$

и так как на рисунке прямые $PF$ и $DC$ не параллельны, то прямая $PF$ пересекает прямую _______ , а значит, и _______ в некоторой _______ .

б) Поскольку точки $B$ и $F$ лежат в _______ , то прямая _______ .

Прямые $BC$ и $B_1C_1$ также лежат в _______ , причем эти прямые _______ и прямая $BF$ пересекает прямую _______ в точке _______ .

А так как прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то и точка _______ лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $BF$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$ в точке _______ .

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Точка пересечения прямой с плоскостью находится как точка пересечения данной прямой с любой прямой, лежащей в данной плоскости. Удобнее всего находить пересечение с прямой, которая является следом вспомогательной плоскости, содержащей исходную прямую.

а) Построение точки пересечения прямой PF с плоскостью ABC

Прямая $PF$ полностью лежит в плоскости задней грани параллелепипеда $(DCC_1)$, так как точки P и F принадлежат ребрам этой грани ($P \in DD_1$, $F \in CC_1$). Плоскость основания $(ABC)$ пересекает плоскость задней грани $(DCC_1)$ по прямой $DC$. Следовательно, точка пересечения прямой $PF$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на прямой $DC$.

Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $PF$ и $DC$. Поскольку обе прямые лежат в одной плоскости $(DCC_1)$ и по условию не параллельны, они пересекаются. Назовем точку их пересечения $M$. Эта точка $M$ и будет точкой пересечения прямой $PF$ с плоскостью $(ABC)$.

Заполним пропуски в предложенном решении:

Поскольку точки P и F лежат в плоскости $DD_1C_1$, то прямая $PF$ также лежит в этой плоскости, и так как на рисунке прямые $PF$ и $DC$ не параллельны, то прямая $PF$ пересекает прямую $DC$, а значит, и плоскость $ABC$ в некоторой точке (назовем ее M).

Построение: В плоскости грани $DCC_1D_1$ продлеваем отрезки $PF$ и $DC$ до их пересечения в точке $M$. Точка $M$ является искомой.

Ответ: Точка пересечения прямой $PF$ с плоскостью $ABC$ — это точка $M$, в которой пересекаются прямые $PF$ и $DC$.

б) Построение точки пересечения прямой BF с плоскостью A₁B₁C₁

Прямая $BF$ полностью лежит в плоскости правой боковой грани $(BCC_1)$, так как точка B является вершиной этой грани, а точка F лежит на ее ребре $CC_1$. Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ пересекает плоскость боковой грани $(BCC_1)$ по прямой $B_1C_1$. Следовательно, точка пересечения прямой $BF$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна лежать на прямой $B_1C_1$.

Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $BF$ и $B_1C_1$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(BCC_1)$ и не параллельны (так как $F$ не совпадает с $C$), значит, они пересекаются. Назовем точку их пересечения $N$. Эта точка $N$ и будет искомой точкой пересечения прямой $BF$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

Заполним пропуски в предложенном решении:

Поскольку точки B и F лежат в плоскости $(BCC_1)$, то прямые $BC$ и $B_1C_1$ также лежат в этой же плоскости, причем эти прямые параллельны, и прямая $BF$ пересекает прямую $B_1C_1$ в точке (назовем ее N). Поэтому прямая $BF$ пересекает плоскость $(A_1B_1C_1)$. А так как прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то и точка N лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $BF$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$ в точке N.

Построение: В плоскости грани $BCC_1B_1$ продлеваем отрезки $BF$ и $B_1C_1$ до их пересечения в точке $N$. Точка $N$ является искомой.

Ответ: Точка пересечения прямой $BF$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ — это точка $N$, в которой пересекаются прямые $BF$ и $B_1C_1$.