Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

23 На рисунке параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены прямыми $MN$ и $MF$, $P_1$, $P_2$ и $Q_1$, $Q_2$ — точки пересечения прямых с плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Найдите $P_1P_2$, если $MP_1 : MQ_1 = 3 : 4$ и $Q_1Q_2 = 72$ см.

Р е ш е н и е.

1) Пересекающиеся прямые $MN$ и $MF$ задают некоторую ______ $\gamma$. $P_1$ и $P_2$ — общие точки плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, поэтому прямая $P_1P_2$ ______ , аналогично $Q_1$ и $Q_2$ ______ поэтому прямая $Q_1Q_2$ ______ .

Итак, параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены плоскостью $\gamma$, поэтому, согласно ______ , линии их пересечения ______ , т. е. $P_1P_2 \parallel$ ______ .

2) $\Delta P_1MP_2 \sim$ ______ , так как ______ , следовательно, $MP_1 : MQ_1 = P_1P_2 :$ ______ , $P_1P_2 = $ ______ = ______ .

О т в е т.

1) Две пересекающиеся в точке $M$ прямые $MN$ и $MF$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

Точки $P_1$ и $P_2$ лежат в плоскости $\alpha$ по условию и в плоскости $\gamma$ по построению. Следовательно, прямая $P_1P_2$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$.

Аналогично, точки $Q_1$ и $Q_2$ лежат в плоскости $\beta$ по условию и в плоскости $\gamma$ по построению. Следовательно, прямая $Q_1Q_2$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$.

По свойству параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости ($\alpha \parallel \beta$) пересекаются третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения параллельны. Таким образом, $P_1P_2 \parallel Q_1Q_2$.

2) Рассмотрим треугольники $\triangle P_1MP_2$ и $\triangle Q_1MQ_2$. Они подобны.

Докажем их подобие: Угол $\angle M$ (или $\angle P_1MP_2$) является общим для обоих треугольников. Углы $\angle MP_1P_2$ и $\angle MQ_1Q_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ и секущей $MN$. Следовательно, $\triangle P_1MP_2 \sim \triangle Q_1MQ_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{P_1P_2}{Q_1Q_2} = \frac{MP_1}{MQ_1}$

По условию задачи дано, что $MP_1:MQ_1 = 3:4$ и $Q_1Q_2 = 72$ см. Подставим известные значения в полученную пропорцию:

$\frac{P_1P_2}{72} = \frac{3}{4}$

Теперь выразим и найдем длину отрезка $P_1P_2$:

$P_1P_2 = \frac{3 \cdot 72}{4} = 3 \cdot 18 = 54$ (см).

Ответ: $54$ см.

24 В тетраэдре $MNPQ$ ребро $MN = 3\sqrt{2}$ см, $NP = NQ = 7$ см, $PQ = 8$ см, $\angle MNP = \angle MNQ = 45^\circ$. Найдите площадь грани $MPQ$.

Решение.

1) $\triangle MNP = \triangle MNQ$, так как ___________, поэтому $MP = \_$.

2) По теореме косинусов для треугольника $MNP$ имеем: $MP^2 = \_$.

= ___________, откуда $MP = \_$ см.

3) $\triangle MPQ$ равнобедренный, так как ________________, а потому его высота $ME$ является ________________, т. е. $PE = \_$ см. Итак, в прямоугольном треугольнике $MEP$ гипотенуза ________________, катет ________________, следовательно, $ME = \_$ см.

4) $S_{MPQ} = \frac{1}{2} \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2} \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ см^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ см^2$.

Ответ.

1) Рассмотрим треугольники $MNP$ и $MNQ$. У них сторона $MN$ — общая, стороны $NP$ и $NQ$ равны по условию ($NP = NQ = 7$ см), и углы между этими сторонами также равны по условию ($\angle MNP = \angle MNQ = 45^\circ$). Следовательно, $\triangle MNP = \triangle MNQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому $MP = MQ$.
Ответ: $MP = MQ$.

2) Для нахождения длины стороны $MP$ применим теорему косинусов к треугольнику $MNP$: $MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos(\angle MNP)$. Подставим известные значения: $MP^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$ $MP^2 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 67 - \frac{42 \cdot 2}{2} = 67 - 42 = 25$. Отсюда $MP = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: $MP = 5$ см.

3) Рассмотрим грань $MPQ$. Так как $MP = MQ = 5$ см, треугольник $MPQ$ является равнобедренным с основанием $PQ$. Проведем в нем высоту $ME$ к основанию $PQ$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $E$ — середина стороны $PQ$, и $PE = \frac{1}{2} PQ = \frac{8}{2} = 4$ см. Треугольник $MEP$ является прямоугольным, так как $ME$ — высота. По теореме Пифагора найдем катет $ME$: $ME^2 = MP^2 - PE^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. $ME = \sqrt{9} = 3$ см.
Ответ: $ME = 3$ см.

4) Площадь грани $MPQ$ найдем по формуле площади треугольника: $S_{MPQ} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot ME$. $S_{MPQ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \text{ см}^2$.
Ответ: $12 \text{ см}^2$.