Номер 23, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

23 На рисунке параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены прямыми $MN$ и $MF$, $P_1$, $P_2$ и $Q_1$, $Q_2$ — точки пересечения прямых с плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Найдите $P_1P_2$, если $MP_1 : MQ_1 = 3 : 4$ и $Q_1Q_2 = 72$ см.

Р е ш е н и е.

1) Пересекающиеся прямые $MN$ и $MF$ задают некоторую ______ $\gamma$. $P_1$ и $P_2$ — общие точки плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, поэтому прямая $P_1P_2$ ______ , аналогично $Q_1$ и $Q_2$ ______ поэтому прямая $Q_1Q_2$ ______ .

Итак, параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены плоскостью $\gamma$, поэтому, согласно ______ , линии их пересечения ______ , т. е. $P_1P_2 \parallel$ ______ .

2) $\Delta P_1MP_2 \sim$ ______ , так как ______ , следовательно, $MP_1 : MQ_1 = P_1P_2 :$ ______ , $P_1P_2 = $ ______ = ______ .

О т в е т.

1) Две пересекающиеся в точке $M$ прямые $MN$ и $MF$ задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

Точки $P_1$ и $P_2$ лежат в плоскости $\alpha$ по условию и в плоскости $\gamma$ по построению. Следовательно, прямая $P_1P_2$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$.

Аналогично, точки $Q_1$ и $Q_2$ лежат в плоскости $\beta$ по условию и в плоскости $\gamma$ по построению. Следовательно, прямая $Q_1Q_2$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$.

По свойству параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости ($\alpha \parallel \beta$) пересекаются третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения параллельны. Таким образом, $P_1P_2 \parallel Q_1Q_2$.

2) Рассмотрим треугольники $\triangle P_1MP_2$ и $\triangle Q_1MQ_2$. Они подобны.

Докажем их подобие: Угол $\angle M$ (или $\angle P_1MP_2$) является общим для обоих треугольников. Углы $\angle MP_1P_2$ и $\angle MQ_1Q_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ и секущей $MN$. Следовательно, $\triangle P_1MP_2 \sim \triangle Q_1MQ_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{P_1P_2}{Q_1Q_2} = \frac{MP_1}{MQ_1}$

По условию задачи дано, что $MP_1:MQ_1 = 3:4$ и $Q_1Q_2 = 72$ см. Подставим известные значения в полученную пропорцию:

$\frac{P_1P_2}{72} = \frac{3}{4}$

Теперь выразим и найдем длину отрезка $P_1P_2$:

$P_1P_2 = \frac{3 \cdot 72}{4} = 3 \cdot 18 = 54$ (см).

Ответ: $54$ см.