Номер 26, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

26 В тетраэдре $SABC$ точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$, а точка $T$ — на продолжении ребра $BC$. Постройте:

а) точку пересечения прямых $MK$ и $SC$;

б) точку пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$.

Р е ш е н и е.

а) Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки ___________, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________. И так, _________ — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.

б) Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки ___________. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка _________ $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке __________.

а)

Для построения точки пересечения прямых $MK$ и $SC$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Заметим, что обе прямые, $MK$ и $SC$, лежат в одной плоскости $(SBC)$. Это следует из того, что точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $SBC$. Прямая $SC$ также является ребром этой грани.

2. Так как прямые $MK$ и $SC$ лежат в одной плоскости и, судя по рисунку, не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.

3. Для нахождения этой точки необходимо построить прямые, проходящие через точки $M, K$ и $S, C$, и найти их точку пересечения. Обозначим эту точку буквой $P$. Точка $P$ является искомой.

Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:

Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки M и K лежат на её ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке P. Итак, P — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $SC$, лежащих в плоскости $(SBC)$.

б)

Для построения точки пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$ воспользуемся методом вспомогательной секущей плоскости:

1. Проведём через прямую $TM$ вспомогательную плоскость. Точка $T$ лежит на продолжении ребра $BC$, а точка $M$ — на ребре $SB$. Прямые $BC$ и $SB$ определяют плоскость $(SBC)$. Следовательно, прямая $TM$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.

2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(SBC)$ и данной плоскости $(ASC)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $C$, значит, они пересекаются по прямой $SC$.

3. Точка пересечения исходной прямой $TM$ и данной плоскости $(ASC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся, то есть на прямой $SC$.

4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $TM$ и $SC$. Построим прямую $TM$ и найдём её точку пересечения с прямой $SC$. Обозначим эту точку буквой $F$.

Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:

Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки T и M лежат на прямых $BC$ и $SB$, принадлежащих этой плоскости. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке F, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка F $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке F.

Ответ: Искомая точка $F$ является точкой пересечения прямой $TM$ с прямой $SC$.