Номер 29, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

29 На ребрах $AC$ и $BC$ тетраэдра $SABC$

отмечены точки $P$ и $K$, а на продолжении ребра $SC$ — точка $T$. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$.

Р е ш е н и е. Поскольку точки $T$ и $P$ лежат в плоскости ______, то прямая $TP$

лежит ______ и пересекает ребро ______ в некоторой

______ . Аналогично прямая $TK$

лежит в плоскости ______ и пересекает

ребро ______ .

Следовательно, сечением тетраэдра $SABC$

плоскостью $PKT$ является ______

Проведите указанные прямые и постройте искомое сечение.

Решение.

Поскольку точки $T$ и $P$ лежат в плоскости (SAC), то прямая $TP$ лежит в этой же плоскости и пересекает ребро SA в некоторой точке. Аналогично прямая $TK$ лежит в плоскости (SBC) и пересекает ребро SB. Следовательно, сечением тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$ является четырехугольник.

Ответ: (SAC); в этой же плоскости; SA; точке; (SBC); SB; четырехугольник.

Проведите указанные прямые и постройте искомое сечение.

Построение искомого сечения выполняется в несколько шагов:

1. Точки $P$ и $K$ лежат на ребрах $AC$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат одной грани $(ABC)$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком $PK$. Этот отрезок является стороной искомого сечения.

2. Точки $P$ и $T$ лежат в плоскости грани $(SAC)$ (точка $P$ на ребре $AC$, точка $T$ на продолжении ребра $SC$). Проведем прямую через эти две точки. Прямая $PT$ пересечет ребро $SA$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $M$. Отрезок $MP$ — еще одна сторона сечения. Таким образом, $M = PT \cap SA$.

3. Аналогично, точки $K$ и $T$ лежат в плоскости грани $(SBC)$ (точка $K$ на ребре $BC$, точка $T$ на продолжении ребра $SC$). Проведем прямую через эти две точки. Прямая $KT$ пересечет ребро $SB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $NK$ — третья сторона сечения. Таким образом, $N = KT \cap SB$.

4. Точки $M$ и $N$, полученные в предыдущих шагах, лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, то есть принадлежат одной грани $(SAB)$. Соединяем их отрезком $MN$, который является последней стороной сечения.

В результате последовательного соединения точек $M$, $P$, $K$, $N$ получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение тетраэдра $SABC$ плоскостью $PKT$ является четырехугольник $MPKN$.