Номер 22, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

22 Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E, K и T лежат на отрезках FM, FN и FP, причем

$ \frac{FE}{FM} = \frac{FK}{FN} = \frac{FT}{FP} = \frac{2}{3} $

а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника EKT равна 36 см$ ^2 $.

Р е ш е н и е.

а) $ \Delta EFK \sim $ _______ , так как _______

поэтому $ EK \parallel $ _______ и $ EK = $ _______ .

Аналогично $ \Delta KFT \sim $ _______ , так как _______

, поэтому $ KT \parallel $ _______ и $ KT = $ _______ .

Итак, пересекающиеся прямые $ EK $ и $ KT $ плоскости $ EKT $ соответственно _______ плоскости $ MNP $, следовательно, эти плоскости _______

б) $ \Delta EKT \sim $ _______ , так как _______ , и коэффициент

подобия $ k $ равен _______ . Поэтому $ S_{EKT} : S_{MNP} = $ _______ = _______ , откуда

$ S_{MNP} = $ _______ = _______ .

Ответ. б) _______

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle EFK$ и $\triangle MFN$. У них есть общий угол $\angle MFN$ (или $\angle EFK$). По условию задачи даны соотношения сторон: $$ \frac{FE}{FM} = \frac{FK}{FN} = \frac{2}{3} $$ Следовательно, $\triangle EFK$ подобен $\triangle MFN$ по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов $\angle FEK = \angle FMN$. Эти углы являются соответственными при прямых $EK$ и $MN$ и секущей $FM$. Равенство этих углов означает, что прямые $EK$ и $MN$ параллельны ($EK \parallel MN$).

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle KFT$ и $\triangle NFP$. У них общий угол $\angle NFP$ (или $\angle KFT$), и по условию $\frac{FK}{FN} = \frac{FT}{FP} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $\triangle KFT \sim \triangle NFP$.

Из этого подобия следует, что прямая $KT$ параллельна прямой $NP$ ($KT \parallel NP$).

Мы получили, что две пересекающиеся прямые ($EK$ и $KT$) в плоскости $EKT$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($MN$ и $NP$) в плоскости $MNP$. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Таким образом, плоскость $EKT$ параллельна плоскости $MNP$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Треугольник $EKT$ является сечением пирамиды $FMNP$ плоскостью, параллельной основанию $MNP$. Такое сечение (треугольник $EKT$) подобно основанию (треугольнику $MNP$).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон. Из подобия $\triangle EFK \sim \triangle MFN$ (доказано в пункте а)) следует, что: $$ k = \frac{EK}{MN} = \frac{FE}{FM} = \frac{2}{3} $$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $$ \frac{S_{EKT}}{S_{MNP}} = k^2 $$

По условию, площадь треугольника $EKT$ равна 36 см², т.е. $S_{EKT} = 36$. Подставим известные значения в формулу: $$ \frac{36}{S_{MNP}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$

Выразим отсюда площадь треугольника $MNP$: $$ S_{MNP} = \frac{36 \cdot 9}{4} = 9 \cdot 9 = 81 \text{ см}^2 $$

Ответ: 81 см².