Номер 16, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

16 Дано: четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAD = 50^\circ$, $AA_1 \parallel DD_1$ и

$AA_1 = DD_1$.

Найдите угол между прямыми $A_1 D_1$ и $CD$.

Решение. Прямые $A_1 D_1$ и $CD$ скрещивающиеся, так как прямая $A_1 D_1$ лежит __________, а прямая $CD$ пересекает эту плоскость в __________, не

лежащей __________.

По условию $AA_1 \parallel DD_1$ и $AA_1 = DD_1$, поэтому четырехугольник $ADD_1 A_1$ — _________ и, следовательно, $AD \parallel A_1 D_1$. Кроме того, $AB \parallel CD$, так как __________. Таким образом, через точку $A$ проходят прямые $AD$ и $AB$, соответственно _________ скрещивающимися __________

Так как $\angle BAD = 50^\circ$, то, согласно определению, угол между скре-щивающимися _________ равен __________

Ответ. __________

Решение.

Угол между скрещивающимися прямыми — это острый или прямой угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Чтобы найти угол между прямыми $A_1D_1$ и $CD$, мы найдем угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.

1. Рассмотрим четырехугольник $ADD_1A_1$. По условию $AA_1 \parallel DD_1$ и $AA_1 = DD_1$. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), $ADD_1A_1$ является параллелограммом.

2. Так как $ADD_1A_1$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AD$ и $A_1D_1$ параллельны, то есть $AD \parallel A_1D_1$.

3. По условию, $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ также параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

4. Мы нашли две прямые $AD$ и $AB$, которые пересекаются в точке $A$ и соответственно параллельны скрещивающимся прямым $A_1D_1$ и $CD$.

5. Следовательно, искомый угол между скрещивающимися прямыми $A_1D_1$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $AD$ и $AB$. Этим углом является $\angle BAD$.

6. По условию задачи дано, что $\angle BAD = 50^\circ$. Так как $50^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым и является углом между прямыми.

Ответ: $50^\circ$.