Номер 12, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

12 Сторона $AC$ треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$, а стороны $AB$ и $BC$ пересекаются с этой плоскостью в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны (задача 26 учебника).

На рисунке плоскость $ABC$ проходит через прямую ______, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает ее по ______, а потому следовательно, ______, а потому

Доказательство.

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$.

По условию задачи, сторона $AC$ треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$).

Плоскость треугольника $ABC$ проходит через прямую $AC$, которая параллельна плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $M$ и $N$. Назовем эту прямую $MN$.

Согласно свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Из этого следует, что прямая $AC$ параллельна прямой $MN$ ($AC \parallel MN$).

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $MBN$:

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle BAC$ и $\angle BMN$ являются соответственными при параллельных прямых $AC$ и $MN$ и секущей $AB$. Следовательно, они равны: $\angle BAC = \angle BMN$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то по первому признаку подобия треугольников, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $MBN$ ($\triangle ABC \sim \triangle MBN$).

Заполним пропуски в тексте из задания, основываясь на приведенном выше доказательстве:

На рисунке плоскость ABC проходит через прямую AC, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает ее по прямой MN, следовательно, $AC \parallel MN$, а потому треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны, так как по свойству параллельных прямой и плоскости линия их пересечения $MN$ параллельна прямой $AC$. Это, в свою очередь, гарантирует равенство соответственных углов ($\angle BAC = \angle BMN$) при общем угле $\angle B$, что является достаточным условием для подобия треугольников.