Лемма, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Лемма. Если одна из двух __________ прямых пересекает данную плоскость, то и __________ эту плоскость.

Дано: $a \parallel b$, $M$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Доказать: прямая $b$ __________

Доказательство. Пусть $\beta$ — плоскость, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$. Так как $M \in \alpha$, $M \in \beta$, то __________ плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $p$, проходящей через __________ . Таким образом, в плоскости $\beta$ прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке __________ , а потому она __________ и параллельную ей __________ в некоторой точке $N$, причем точка $N \in \alpha$, так как __________ . Итак, $N$ — общая точка прямой __________ и плоскости __________ . Других общих точек с плоскостью $\alpha$ прямая $b$ не имеет. Действительно, если предположить, что прямая $b$ __________ еще одну __________ , прямая $b$ будет целиком лежать в __________ , а значит, будет общей прямой __________ и потому совпадет __________ . Но это невозможно, так как по условию $a \parallel b$, а прямые $a$ и $p$ __________ . Лемма доказана.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Дано: $a \parallel b$, $M$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Доказать: прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Доказательство. Пусть $\beta$ — плоскость, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$. Так как $M \in \alpha$, $M \in \beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $p$, проходящей через точку $M$. Таким образом, в плоскости $\beta$ прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке $M$, а потому она пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке $N$, причем точка $N \in \alpha$, так как прямая $p$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Итак, $N$ — общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Других общих точек с плоскостью $\alpha$ прямая $b$ не имеет. Действительно, если предположить, что прямая $b$ имеет еще одну общую точку, то, согласно аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости), прямая $b$ будет целиком лежать в плоскости $\alpha$, а значит, будет общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и потому совпадет с прямой $p$. Но это невозможно, так как по условию $a \parallel b$, а прямые $a$ и $p$ пересекаются. Лемма доказана.

Ответ: В пропуски в тексте необходимо вставить следующие слова и словосочетания в указанном порядке:

1. параллельных
2. другая пересекает
3. пересекает плоскость $\alpha$
4. точку $M$
5. $M$
6. пересекает
7. прямую $b$
8. прямая $p$ целиком лежит в плоскости $\alpha$
9. $b$
10. $\alpha$
11. имеет
12. общую точку
13. аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости)
14. плоскости $\alpha$
15. плоскостей $\alpha$ и $\beta$
16. с прямой $p$
17. пересекаются