Номер 2, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

2 Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $\alpha$? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).

Решение.

Пусть смежные вершины $B$ и $C$ и точка $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ лежат в плоскости $\alpha$. Тогда по аксиоме __________ прямые __________ и __________ лежат в плоскости $\alpha$, и так как $A \in CO$, $D \in BO$, то точки __________

Ответ. __________

Решение.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, две смежные вершины и точка пересечения диагоналей лежат в плоскости $\alpha$. Возьмем в качестве смежных вершин точки $B$ и $C$. Таким образом, точки $B$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$.

Нужно доказать, что две другие вершины, $A$ и $D$, также лежат в плоскости $\alpha$.

1. Рассмотрим прямую, содержащую диагональ $BD$. Точки $B$ и $O$ принадлежат этой прямой. По условию, точки $B$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в данной плоскости. Следовательно, вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Вершина $D$ является точкой прямой $BD$ ($D \in BD$). Поскольку прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

3. Теперь рассмотрим прямую, содержащую диагональ $AC$. Точки $C$ и $O$ принадлежат этой прямой. По условию, точки $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. По той же аксиоме, вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Вершина $A$ является точкой прямой $AC$ ($A \in AC$). Поскольку прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что две другие вершины параллелограмма, $A$ и $D$, также лежат в плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, две другие вершины параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$.