Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

1 На рисунке изображен куб. Назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые $NE, MN, TP, PM$;

б) точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $DCC_1$, прямой $CE$ с плоскостью $ABD$, прямой $PM$ с плоскостью $BCC_1$;

в) прямые, по которым пересекаются плоскости $ABC$ и $B_1C_1N$, $A_1B_1C_1$ и $CDE$;

г) точки пересечения прямых $AP$ и $EC_1$, $DE$ и $B_1C_1$, $AT$ и $A_1D_1$.

Ответ.

а) Прямая $NE$ лежит в плоскости $DCC_1$, прямая $MN$ лежит в плоскости ______, прямая $TP$ лежит в плоскости ______, прямая $PM$ лежит в плоскости ______.

б) прямая $MN$ пересекает плоскость $DCC_1$ в точке ______, прямая $CE$ пересекает плоскость $ABD$ в точке ______, прямая $PM$ пересекает плоскость $BCC_1$ в точке ______.

в) плоскости $ABC$ и $B_1C_1N$ пересекаются по прямой ______, плоскости $A_1B_1C_1$ и $CDE$ пересекаются по прямой ______.

г) прямые $AP$ и $EC_1$ пересекаются в точке ______, прямые $DE$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке ______, прямые $AT$ и $A_1D_1$ пересекаются в точке ______.

а) Для определения плоскостей, в которых лежат указанные прямые, рассмотрим расположение их определяющих точек на гранях куба.

• Прямая NE: Точка N лежит на ребре C₁D₁, а точка E — на ребре CC₁. Оба эти ребра принадлежат задней грани куба DCC₁D₁. Следовательно, вся прямая NE лежит в плоскости (DCC₁).
• Прямая PM: Точка P лежит на ребре AD, а точка M — на продолжении ребра BC. Ребра AD и BC параллельны и лежат в плоскости нижнего основания ABC. Следовательно, прямая PM, соединяющая точки на этих прямых, также лежит в плоскости (ABC).
• Прямая TP: Точка T лежит на продолжении ребра A₁A, а точка P — на ребре AD. Ребра A₁A и AD принадлежат передней грани куба ADD₁A₁. Следовательно, прямая TP лежит в плоскости (ADD₁).
• Прямая MN: Точка M лежит на прямой BC (в плоскости (ABC)), а точка N — на прямой C₁D₁ (в плоскости (A₁B₁C₁)). В общем случае такая прямая не лежит ни в одной из плоскостей граней куба. Однако, в задачах такого типа часто предполагается частный случай. Если предположить, что точка N совпадает с вершиной D₁, то прямая MN будет лежать в диагональной плоскости (A₁BCD₁). Точка N=D₁ принадлежит этой плоскости по определению. Точка M на прямой BC также принадлежит этой плоскости, так как прямая BC является одной из образующих этой плоскости.

Ответ: Прямая NE лежит в плоскости DCC₁, прямая MN лежит в плоскости A₁BCD₁ (при условии, что N=D₁), прямая TP лежит в плоскости ADD₁, прямая PM лежит в плоскости ABC.

б) Найдем точки пересечения заданных прямых с плоскостями.

• Пересечение прямой MN с плоскостью DCC₁: Прямая MN соединяет точку M, не лежащую в плоскости (DCC₁), с точкой N, которая по условию лежит на ребре C₁D₁, а значит, в плоскости (DCC₁). Таким образом, точкой пересечения прямой MN и плоскости (DCC₁) является сама точка N.
• Пересечение прямой CE с плоскостью ABD: Плоскость (ABD) — это плоскость нижнего основания (ABC). Прямая CE, по условию, является частью ребра CC₁. Ребро CC₁ пересекает плоскость (ABC) в вершине C. Следовательно, точка пересечения — C.
• Пересечение прямой PM с плоскостью BCC₁: Прямая PM лежит в плоскости нижнего основания (ABC). Плоскость (BCC₁) — боковая грань. Эти две плоскости пересекаются по прямой BC. Точка M по условию лежит на прямой PM и одновременно на прямой BC. Следовательно, M является точкой пересечения прямой PM с плоскостью (BCC₁).

Ответ: Прямая MN пересекает плоскость DCC₁ в точке N, прямая CE пересекает плоскость ABD в точке C, прямая PM пересекает плоскость BCC₁ в точке M.

в) Найдем прямые, по которым пересекаются указанные плоскости.

• Пересечение плоскостей ABC и B₁C₁N: Точки B₁, C₁ и N (на ребре C₁D₁) все лежат в плоскости верхней грани (A₁B₁C₁). Таким образом, плоскость (B₁C₁N) совпадает с плоскостью (A₁B₁C₁). Плоскости (ABC) и (A₁B₁C₁) параллельны, их пересечение — пустое множество. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что имелась в виду плоскость (BC₁N), то ее пересечением с плоскостью (ABC) ($z=0$) будет прямая, задаваемая уравнением $x=a$ в этой плоскости, что соответствует прямой AB.
• Пересечение плоскостей A₁B₁C₁ и CDE: Точки C, D и E (на ребре CC₁) лежат в плоскости задней грани (DCC₁). Таким образом, плоскость (CDE) совпадает с плоскостью (DCC₁). Пересечением плоскости верхней грани (A₁B₁C₁) и плоскости задней грани (DCC₁) является их общее ребро — прямая C₁D₁.

Ответ: Плоскости ABC и B₁C₁N, ввиду вероятной опечатки, пересекаются по прямой AB (при замене на BC₁N); плоскости A₁B₁C₁ и CDE пересекаются по прямой C₁D₁.

г) Найдем точки пересечения заданных прямых.

• Пересечение прямых AP и EC₁: Прямая AP является частью прямой AD, лежащей в передней грани (ADD₁A₁). Прямая EC₁ является частью прямой CC₁, лежащей в боковой грани (BCC₁). Плоскости этих граней параллельны, поэтому прямые AP и EC₁ не могут пересечься. Они являются скрещивающимися.
• Пересечение прямых DE и B₁C₁: Прямая DE лежит в задней грани (DCC₁). Прямая B₁C₁ — ребро верхней грани. Они могут пересечься только в общей точке, если она существует. Прямая DE пересекает плоскость (BCC₁) (в которой лежит прямая B₁C₁) в точке E. Для пересечения прямых необходимо, чтобы точка E лежала на прямой B₁C₁. Это возможно, если точка E совпадает с вершиной C₁. В этом случае прямая DE становится диагональю DC₁, которая пересекается с ребром B₁C₁ в их общей точке C₁.
• Пересечение прямых AT и A₁D₁: Прямая AT (где T — точка на продолжении A₁A) — это прямая, содержащая ребро AA₁. Прямая A₁D₁ — это ребро куба. Эти две прямые являются смежными ребрами куба и пересекаются в общей вершине A₁.

Ответ: Прямые AP и EC₁ не пересекаются; прямые DE и B₁C₁ пересекаются в точке C₁ (при условии, что E=C₁); прямые AT и A₁D₁ пересекаются в точке A₁.

О т в е т.

а) Прямая NE лежит в плоскости DCC₁, прямая MN лежит в плоскости A₁BCD₁, прямая TP лежит в плоскости ADD₁, прямая PM лежит в плоскости ABC.

б) прямая MN пересекает плоскость DCC₁ в точке N, прямая CE пересекает плоскость ABD в точке C, прямая PM пересекает плоскость BCC₁ в точке M.

в) плоскости ABC и B₁C₁N пересекаются по прямой AB, плоскости A₁B₁C₁ и CDE пересекаются по прямой C₁D₁.

г) прямые AP и EC₁ не пересекаются, прямые DE и B₁C₁ пересекаются в точке C₁, прямые AT и A₁D₁ пересекаются в точке A₁.

2 Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $\alpha$? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).

Решение.

Пусть смежные вершины $B$ и $C$ и точка $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ лежат в плоскости $\alpha$. Тогда по аксиоме __________ прямые __________ и __________ лежат в плоскости $\alpha$, и так как $A \in CO$, $D \in BO$, то точки __________

Ответ. __________

Решение.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, две смежные вершины и точка пересечения диагоналей лежат в плоскости $\alpha$. Возьмем в качестве смежных вершин точки $B$ и $C$. Таким образом, точки $B$, $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$.

Нужно доказать, что две другие вершины, $A$ и $D$, также лежат в плоскости $\alpha$.

1. Рассмотрим прямую, содержащую диагональ $BD$. Точки $B$ и $O$ принадлежат этой прямой. По условию, точки $B$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в данной плоскости. Следовательно, вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Вершина $D$ является точкой прямой $BD$ ($D \in BD$). Поскольку прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

3. Теперь рассмотрим прямую, содержащую диагональ $AC$. Точки $C$ и $O$ принадлежат этой прямой. По условию, точки $C$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$. По той же аксиоме, вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Вершина $A$ является точкой прямой $AC$ ($A \in AC$). Поскольку прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что две другие вершины параллелограмма, $A$ и $D$, также лежат в плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, две другие вершины параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$.