Страница 7 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

На рисунке прямая $PM$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, $N \in PM$, причем $MN:NP = 2:1$, $PP_1 \parallel NN_1$, $NN_1 = 14$ см, $P_1$ и $N_1$ — точки пересечения параллельных прямых с плоскостью $\alpha$.

а) Докажите, что точки $M, N_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка $PP_1$.

Решение.

а) Прямые $NN_1$ и $PP_1$ задают некоторую плоскость, так как параллельные прямые . Обозначим эту плоскость буквой $\beta$. Тогда по аксиоме прямая $NP$ лежит и поэтому $M \in \beta$, так как . Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, а потому, согласно , пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки . Точки $M, N_1$ и $P_1$ — общие точки , следовательно, они лежат на одной .

б) $\Delta MNN_1 \sim \Delta MPP_1$, так как , поэтому $\frac{MN}{MP} = \underline{\hspace{0.5cm}}$, поэтому $\frac{MN}{MP} = \frac{MN_1}{MP_1} = \frac{NN_1}{PP_1}$.

т. е. $\frac{2}{3} = \frac{14}{PP_1}$, откуда $PP_1 = \underline{\hspace{2cm}}$

Ответ.

б)

а) Прямые $NN_1$ и $PP_1$ параллельны по условию. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость буквой $\beta$.

Точки $N$ и $P$ лежат на прямой $PM$. Так как $N \in NN_1$ и $P \in PP_1$, а прямые $NN_1$ и $PP_1$ лежат в плоскости $\beta$, то точки $N$ и $P$ также лежат в плоскости $\beta$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, вся прямая $PM$ лежит в плоскости $\beta$. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $PM$, то и точка $M$ лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$. По другой аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На этой прямой лежат все общие точки данных плоскостей.

Точка $N_1$ лежит в плоскости $\alpha$ по условию. Также $N_1$ лежит на прямой $NN_1$, которая находится в плоскости $\beta$, значит, $N_1 \in \beta$. Следовательно, $N_1$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично, точка $P_1$ лежит в плоскости $\alpha$ по условию и в плоскости $\beta$ (так как $P_1 \in PP_1$, а $PP_1 \subset \beta$). Следовательно, $P_1$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Таким образом, точки $M$, $N_1$ и $P_1$ являются общими точками для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, они все лежат на одной прямой — прямой пересечения этих плоскостей.

Ответ: Доказано, что точки $M, N_1, P_1$ лежат на одной прямой.

б) В плоскости $\beta$ рассмотрим треугольники $\triangle MNN_1$ и $\triangle MPP_1$. Эти треугольники подобны по двум углам:

1. Угол $\angle N_1MN$ (или $\angle P_1MP$) является общим для обоих треугольников.

2. Так как прямые $NN_1$ и $PP_1$ параллельны, а прямая $MP_1$ является для них секущей, то соответственные углы $\angle MN_1N$ и $\angle MP_1P$ равны.

Из подобия треугольников ($\triangle MNN_1 \sim \triangle MPP_1$) следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MN}{MP} = \frac{NN_1}{PP_1}$

По условию дано отношение $MN : NP = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $MN$ можно представить как $2k$, а отрезок $NP$ как $k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда весь отрезок $MP$ равен $MN + NP = 2k + k = 3k$.

Найдем отношение сторон $MN$ и $MP$:

$\frac{MN}{MP} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим известные значения в формулу пропорции:

$\frac{2}{3} = \frac{14}{PP_1}$

Выразим отсюда искомую длину отрезка $PP_1$:

$2 \cdot PP_1 = 3 \cdot 14$

$2 \cdot PP_1 = 42$

$PP_1 = \frac{42}{2} = 21$ см.

Ответ: 21 см.