Страница 9 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

8 Точка $D$ не лежит в плоскости $ABC$,
точки $E, F, G$ и $K$ — середины отрезков
$AD, DC, BC$ и $AB$.

а) Докажите, что точки $E, F, G$ и $K$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите периметр четырехугольника $EFGK$, если $AC = 18$ см, $BD = 24$ см.

Р е ш е н и е.

а) $EF$ — средняя линия
треугольника _______, поэтому
$EF \parallel \text{_______}$ и $EF = \quad$; $KG$ — средняя
линия _______
и потому _______

Следовательно, $EF \parallel \text{_______}$, т. е. точки $E, F, G$ и $K$ лежат на параллельных прямых, а значит, лежат в одной _______.

б) Четырехугольник $EFGK$ — параллелограмм, так как _________.
, причем $EF = \quad$, $EK = \quad$
а потому $P_{EFGK} = \quad$

О т в е т. б) _______

а) Рассмотрим треугольник ADC. Так как точки E и F являются серединами сторон AD и DC соответственно, то отрезок EF — средняя линия этого треугольника. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.
Аналогично, в треугольнике ABC отрезок KG является средней линией, так как K и G — середины сторон AB и BC. Следовательно, $KG \parallel AC$ и $KG = \frac{1}{2}AC$.
Поскольку прямые EF и KG обе параллельны прямой AC, то они параллельны между собой ($EF \parallel KG$).
Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Так как точки E, F, G и K лежат на этих параллельных прямых, то они все лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки E, F, G и K лежат в одной плоскости.

б) Из пункта а) мы установили, что $EF \parallel KG$ и $EF = KG = \frac{1}{2}AC$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, EFGK — это параллелограмм.
Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон: $P_{EFGK} = 2(EF + EK)$.
Найдем длины сторон:
$EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.
EK является средней линией треугольника ABD (поскольку E — середина AD и K — середина AB). Следовательно, $EK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Теперь вычислим периметр:
$P_{EFGK} = 2(9 + 12) = 2(21) = 42$ см.
Ответ: 42 см.

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они

Дано: $a \parallel c, b \parallel c$.

Доказать:

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1) лежат в одной

2) не

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме

прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет __________, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в __________. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы __________, параллельные __________, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано: $a \parallel c$, $b \parallel c$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1) лежат в одной плоскости;

2) не пересекаются.

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет пересекать плоскость $\alpha$, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные прямой $c$, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.

Ответ:

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано: $a \parallel c, b \parallel c$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1. лежат в одной плоскости;
2. не пересекаются.

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет пересекать плоскость $\alpha$, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные прямой $c$, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.