Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

17. В пространственном четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$ (задача 47 учебника).

Доказательство. Середины отрезков $BC, AD$ и $AC$ обозначим буквами $M, N$ и $P$. Так как отрезок $MP$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$, и поэтому угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу $\angle PMN$.

Кроме того, $PM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично отрезок $PN$ — средняя линия $\triangle ACD$, и поэтому $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.

Так как $AB = CD$, то $PM = PN$, т. е. треугольник $PMN$ — равнобедренный. Следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$, а это означает, что угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $CD$ и $MN$, что и требовалось доказать.

В данном доказательстве необходимо заполнить пропуски, используя свойства средней линии треугольника и определение угла между скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $BC$, а $P$ — середина $AC$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина $AD$, а $P$ — середина $AC$, то $PN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

• Угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $MP$ и прямой $MN$, то есть $\angle PMN$.
• Угол между прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $PN$ и прямой $MN$, то есть $\angle PNM$.

По условию задачи $AB = CD$. Так как $MP = \frac{1}{2}AB$ и $PN = \frac{1}{2}CD$, то из равенства $AB = CD$ следует, что $MP = PN$.

Треугольник $PMN$, в котором две стороны равны ($MP = PN$), является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$.

Так как $\angle PMN$ равен углу между $AB$ и $MN$, а $\angle PNM$ равен углу между $CD$ и $MN$, то из равенства этих углов следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$.

Заполним пропуски в тексте доказательства:

Так как отрезок MP — средняя линия треугольника ABC, то $MP \parallel$ AB, и поэтому угол между прямыми AB и MN равен углу PMN. Кроме того, $PM = \frac{1}{2}$ AB. Аналогично отрезок PN — средняя линия треугольника ADC, и поэтому $PN \parallel$ CD и $PN = \frac{1}{2}CD$, а угол между прямыми CD и MN равен углу PNM.

Так как $AB = CD$, то $PM = $ PN, т. е. треугольник PMN — равнобедренный. Следовательно, $\angle$PMN = $\angle$PNM, а это означает, что угол между прямыми AB и MN равен углу между прямыми CD и MN, что и требовалось доказать.

Ответ: Пропуски в доказательстве заполнены выше. Доказательство основано на свойствах средней линии треугольника, из которых следует, что построенный треугольник PMN является равнобедренным ($PM=PN$), а углы $\angle PMN$ и $\angle PNM$ равны искомым углам между прямыми AB и MN и прямыми CD и MN соответственно.

18 Дано: $MN \parallel PQ$, $N \in \alpha$, $Q \in \alpha$, $MN = 10$ см, $PQ = 6$ см, $NQ = 4$ см.

а) Докажите, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $F$.

б) Найдите отрезок $QF$.

Решение.

а) Прямые $MN$ и $PQ$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как _________________.

Прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны, так как в противном случае четырехугольник $MNQP$ был бы ______________, и поэтому выполнялось бы равенство $MN = \text{_________}$, что противоречит _______________, следовательно, прямая $MP$ пересекает прямую $NQ$ в некоторой точке $F$. Так как $NQ$ — линия пересечения плоскостей _______________, то $F \in \alpha$, и, значит, прямая $MP$ _________________.

б) Так как $PQ \parallel MN$, то $\Delta PQF \sim$ _____________. Следовательно,

$\frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN}$, т. е. $\frac{QF}{QF+4} = \frac{6}{10}$, откуда $QF = \text{_____}$ см.

Ответ. б) $QF = \text{_____}$ см.

а) Докажите, что прямая MP пересекает плоскость α в некоторой точке F.

Поскольку по условию прямые $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN \parallel PQ$), через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, все четыре точки M, N, P, Q лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $MP$ и $NQ$, проходящие через эти точки, также лежат в плоскости $\beta$.

Далее докажем, что прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. Предположим обратное: пусть $MP \parallel NQ$. Так как у четырехугольника $MNQP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ по условию и $MP \parallel NQ$ по нашему предположению), то $MNQP$ — параллелограмм. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон, то есть должно выполняться равенство $MN = PQ$.

Однако, согласно условию задачи, $MN = 10$ см, а $PQ = 6$ см. Так как $10 \neq 6$, то $MN \neq PQ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны.

Поскольку прямые $MP$ и $NQ$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $F$.

По условию точки $N$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, прямая $NQ$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Так как точка $F$ является точкой пересечения прямых $MP$ и $NQ$, она принадлежит прямой $NQ$. А раз прямая $NQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Найдите отрезок QF.

Рассмотрим треугольники $\triangle FQP$ и $\triangle FNM$, которые лежат в плоскости $\beta$. Так как по условию $PQ \parallel MN$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle F$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle FQP = \angle FNM$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $MN$ и секущей $FN$.

Из подобия треугольников ($\triangle FQP \sim \triangle FNM$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN} $

Нам известны длины $PQ = 6$ см, $MN = 10$ см и $NQ = 4$ см. Длина отрезка $NF$ складывается из длин отрезков $NQ$ и $QF$: $NF = NQ + QF = 4 + QF$.

Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{6}{10} $

Решим это уравнение. Для начала сократим дробь в правой части: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $. $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{3}{5} $

Применим основное свойство пропорции: $ 5 \cdot QF = 3 \cdot (4 + QF) $ $ 5 \cdot QF = 12 + 3 \cdot QF $ $ 5 \cdot QF - 3 \cdot QF = 12 $ $ 2 \cdot QF = 12 $ $ QF = \frac{12}{2} $ $ QF = 6 $ см.

Ответ: $QF = 6$ см.