Страница 16 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

19 Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников $ABC$ и $CBD$ пересекаются соответственно в точках $M_1$ и $M_2$. Докажите, что отрезки $AD$ и $M_1M_2$ параллельны (задача 89 учебника).

Доказательство. Середину отрезка $BC$ обозначим буквой $E$. Отрезки $AE$ и $DE$ ___ треугольников ___ и ___, поэтому точки $M_1$ и $M_2$ лежат на ___ и де- лят их в отношении ___, считая от точки $E$. Отсюда следует, что

$\frac{EM_1}{EA} = \frac{EM_2}{\text{___}} = \text{___}$. Таким образом, стороны $EM_1$ и $EM_2$ треугольника $EM_1M_2$ пропорциональны ___, а угол $E$ у этих треугольников ___ . Поэтому ___ и, следовательно, ___.

Доказательство. Середину отрезка BC обозначим буквой E. Отрезки AE и DE — медианы треугольников ABC и CBD, поэтому точки $M_1$ и $M_2$ лежат на медианах AE и DE соответственно и, по свойству точки пересечения медиан, делят их в отношении 2:1, считая от вершин A и D. Если считать от точки E, то отношение будет 1:2. Отсюда следует, что $ \frac{EM_1}{EA} = \frac{EM_2}{DE} = \frac{1}{3} $. Таким образом, стороны $EM_1$ и $EM_2$ треугольника $EM_1M_2$ пропорциональны сторонам EA и ED треугольника EDA, а угол E у этих треугольников общий. Поэтому, по второму признаку подобия, треугольники $EM_1M_2$ и $EDA$ подобны, и, следовательно, отрезки $M_1M_2$ и $AD$ параллельны.

Ответ: Параллельность отрезков AD и $M_1M_2$ доказана на основании подобия треугольников $EM_1M_2$ и $EDA$.

20 На рисунке $BC \parallel DE, A \notin BCD$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $ADE$ пересекаются по прямой, параллельной прямым $BC$ и $DE$.

Доказательство.

Обозначим плоскости $ABC$ и $ADE$ через $\alpha$ и $\beta$. Прямая $DE$ не лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $BC$ не лежит , так как в противном случае эти плоскости совпали бы и тогда точка $A$ лежала бы в плоскости $BCD$, что . Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$ и поэтому, согласно , имеют , т. е. пересекаются по некоторой $a$. По условию $DE \parallel BC$ и так как $DE$ не лежит в , то по признаку $DE \parallel \alpha$.

Итак, плоскость $\beta$ проходит через прямую $DE$, параллельную плоскости , и пересекает ее по . Следовательно, , а так как $DE \parallel BC$, то

Доказательство. Обозначим плоскости $ABC$ и $ADE$ через $\alpha$ и $\beta$. Прямая $DE$ не лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $BC$ не лежит в плоскости $\beta$, так как в противном случае эти плоскости совпали бы и тогда точка $A$ лежала бы в плоскости $BCD$, что противоречит условию. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$ и поэтому, согласно аксиоме о пересечении плоскостей, имеют общую прямую, т. е. пересекаются по некоторой прямой $a$. По условию $DE \parallel BC$ и так как $DE$ не лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $DE \parallel \alpha$. Итак, плоскость $\beta$ проходит через прямую $DE$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает ее по прямой $a$. Следовательно, $a \parallel DE$, а так как $DE \parallel BC$, то $a \parallel BC$.

Ответ: в плоскости $\beta$; противоречит условию; аксиоме о пересечении плоскостей; общую прямую; плоскости $\alpha$; признаку параллельности прямой и плоскости; $\alpha$; прямой $a$; $a \parallel DE$; $a \parallel BC$.