Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Теорема (признак параллельности двух плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости _________ двум прямым
другой плоскости, то эти плоскости _______________.

Дано: прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$, лежат в плоскости $\alpha$, прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$, $a \parallel a_1$,
$b \parallel b_1$.

Доказать: $\alpha \parallel \beta$.

Доказательство. Заметим, что ____________________
$a \parallel \beta$, $b \parallel \beta$ по признаку ______________________.

Теперь допустим, что
плоскости $\alpha$ и $\beta$ не ___________________ , а пересекаются по
___________________ $c$. Тогда плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости _________ , и пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$. Следовательно, $a \parallel c$. Но плоскость $\alpha$ проходит и _________________ ,
следовательно, $b \parallel c$. Таким образом, через точку $M$ проходят две прямые _______________ , параллельные прямой ______________ . Но это невозможно, так как
по ___________________________________________________________ через точку $M$
________________________________________________________________ .

Значит, наше допущение неверно и $\alpha \parallel \beta$.

Теорема доказана.

Это задача на восстановление текста теоремы и её доказательства путем заполнения пропусков. Ниже представлено развернутое решение с заполнением каждого пропуска и объяснением.

В формулировке теоремы (признака параллельности двух плоскостей) пропущены ключевые слова. Теорема гласит, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Ответ: Первый пропуск: соответственно параллельны.
Второй пропуск: параллельны.

Доказательство начинается с применения признака параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: "Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости". По условию дано, что прямая $a$ из плоскости $\alpha$ параллельна прямой $a_1$ из плоскости $\beta$ ($a \parallel a_1$). Следовательно, прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). Аналогично, так как $b \parallel b_1$ и $b_1 \subset \beta$, то $b \parallel \beta$.

Ответ: ...по признаку параллельности прямой и плоскости.

Далее используется метод доказательства от противного. Мы предполагаем, что заключение теоремы неверно, то есть плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой линии. Обозначим эту линию пересечения буквой $c$.

Ответ: Первый пропуск: ...плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны...
Второй пропуск: ...а пересекаются по прямой $c$.

Здесь применяется свойство: "Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой". В нашем случае плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая параллельна плоскости $\beta$ (как было установлено ранее). Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$. Следовательно, $a \parallel c$. Пропущено название плоскости, которой параллельна прямая $a$.

Ответ: ...параллельную плоскости $\beta$...

Рассуждение, аналогичное предыдущему шагу, применяется для прямой $b$. Плоскость $\alpha$ также проходит и через прямую $b$. Поскольку мы уже знаем, что $b \parallel \beta$, и плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по той же прямой $c$, то из этого следует, что $b \parallel c$. В пропуске необходимо указать, через какую еще прямую проходит плоскость $\alpha$.

Ответ: Но плоскость $\alpha$ проходит и через прямую $b$...

На этом шаге мы приходим к противоречию. Из предыдущих рассуждений мы получили, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$. По условию теоремы, прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Таким образом, получается, что через одну точку ($M$) проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и обе они параллельны третьей прямой ($c$).

Ответ: Первый пропуск: ...две прямые $a$ и $b$...
Второй пропуск: ...параллельные прямой $c$.

Полученное утверждение противоречит аксиоме параллельных прямых (известной как пятый постулат Евклида) или следствию из нее, которое гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В нашем случае через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $c$.

Ответ: Первый пропуск: ...так как по аксиоме параллельных прямых...
Второй пропуск: ...через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $c$.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное допущение о том, что плоскости не параллельны, было неверным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

21 Две стороны треугольника параллельны плоскости $\alpha$. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости $\alpha$ (задача 52 учебника).

Доказательство.

Пусть стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Докажем, что и третья сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Так как $AB || \alpha$, то, согласно заданию 10, в плоскости

$\alpha$ существует некоторая прямая $A_1B_1 || AB$. Аналогично существует прямая $A_1C_1$ плоскости $\alpha$, параллельная прямой $AC$. Итак, две пересекающиеся прямые $AB$ и $AC$ плоскости $ABC$ параллельны двум прямым $A_1B_1$ и $A_1C_1$ плоскости $\alpha$, следовательно,

, эти плоскости

, а потому прямая $BC$ плоскости $\alpha$.

Доказательство.

Для доказательства утверждения, изложенного в задаче, необходимо завершить представленный логический вывод, опираясь на теоремы стереометрии. Разберем ход доказательства по шагам, чтобы обосновать заполнение пропусков.

1. Исходные данные и первый шаг.
По условию, две стороны треугольника, $AB$ и $AC$, параллельны плоскости $\alpha$.
Из свойства параллельности прямой и плоскости следует: если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости найдется прямая, ей параллельная.
Следовательно, в плоскости $\alpha$ существуют прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ такие, что:
$AB \parallel A_1B_1$ и $AC \parallel A_1C_1$.

2. Применение признака параллельности плоскостей.
Прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами треугольника $ABC$, поэтому они пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость этого треугольника (обозначим ее $\beta$).
Прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Они также должны пересекаться, так как в противном случае из $AB \parallel A_1B_1$ и $AC \parallel A_1C_1$ следовало бы, что $AB \parallel AC$, что невозможно для сторон треугольника.
Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AC$) в плоскости $\beta$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($A_1B_1$ и $A_1C_1$) в плоскости $\alpha$.
Согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $\beta$ (плоскость $ABC$) и плоскость $\alpha$ параллельны.
Это обосновывает заполнение первых двух пропусков в тексте.

3. Вывод о третьей стороне.
Мы доказали, что плоскость треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$. Третья сторона треугольника, $BC$, лежит в плоскости $ABC$ ($BC \subset \text{пл.} ABC$).
Из свойства параллельных плоскостей известно, что любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.
Следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это позволяет заполнить последний пропуск.

Ответ: Полный текст завершающей части доказательства с заполненными пропусками выглядит так:
«...следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей, эти плоскости параллельны, а потому прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.»