Номер 21, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

21 Две стороны треугольника параллельны плоскости $\alpha$. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости $\alpha$ (задача 52 учебника).

Доказательство.

Пусть стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Докажем, что и третья сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Так как $AB || \alpha$, то, согласно заданию 10, в плоскости

$\alpha$ существует некоторая прямая $A_1B_1 || AB$. Аналогично существует прямая $A_1C_1$ плоскости $\alpha$, параллельная прямой $AC$. Итак, две пересекающиеся прямые $AB$ и $AC$ плоскости $ABC$ параллельны двум прямым $A_1B_1$ и $A_1C_1$ плоскости $\alpha$, следовательно,

, эти плоскости

, а потому прямая $BC$ плоскости $\alpha$.

Доказательство.

Для доказательства утверждения, изложенного в задаче, необходимо завершить представленный логический вывод, опираясь на теоремы стереометрии. Разберем ход доказательства по шагам, чтобы обосновать заполнение пропусков.

1. Исходные данные и первый шаг.
По условию, две стороны треугольника, $AB$ и $AC$, параллельны плоскости $\alpha$.
Из свойства параллельности прямой и плоскости следует: если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости найдется прямая, ей параллельная.
Следовательно, в плоскости $\alpha$ существуют прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ такие, что:
$AB \parallel A_1B_1$ и $AC \parallel A_1C_1$.

2. Применение признака параллельности плоскостей.
Прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами треугольника $ABC$, поэтому они пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость этого треугольника (обозначим ее $\beta$).
Прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Они также должны пересекаться, так как в противном случае из $AB \parallel A_1B_1$ и $AC \parallel A_1C_1$ следовало бы, что $AB \parallel AC$, что невозможно для сторон треугольника.
Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AC$) в плоскости $\beta$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($A_1B_1$ и $A_1C_1$) в плоскости $\alpha$.
Согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $\beta$ (плоскость $ABC$) и плоскость $\alpha$ параллельны.
Это обосновывает заполнение первых двух пропусков в тексте.

3. Вывод о третьей стороне.
Мы доказали, что плоскость треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$. Третья сторона треугольника, $BC$, лежит в плоскости $ABC$ ($BC \subset \text{пл.} ABC$).
Из свойства параллельных плоскостей известно, что любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.
Следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это позволяет заполнить последний пропуск.

Ответ: Полный текст завершающей части доказательства с заполненными пропусками выглядит так:
«...следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей, эти плоскости параллельны, а потому прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.»