Номер 18, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

18 Дано: $MN \parallel PQ$, $N \in \alpha$, $Q \in \alpha$, $MN = 10$ см, $PQ = 6$ см, $NQ = 4$ см.

а) Докажите, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $F$.

б) Найдите отрезок $QF$.

Решение.

а) Прямые $MN$ и $PQ$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как _________________.

Прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны, так как в противном случае четырехугольник $MNQP$ был бы ______________, и поэтому выполнялось бы равенство $MN = \text{_________}$, что противоречит _______________, следовательно, прямая $MP$ пересекает прямую $NQ$ в некоторой точке $F$. Так как $NQ$ — линия пересечения плоскостей _______________, то $F \in \alpha$, и, значит, прямая $MP$ _________________.

б) Так как $PQ \parallel MN$, то $\Delta PQF \sim$ _____________. Следовательно,

$\frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN}$, т. е. $\frac{QF}{QF+4} = \frac{6}{10}$, откуда $QF = \text{_____}$ см.

Ответ. б) $QF = \text{_____}$ см.

а) Докажите, что прямая MP пересекает плоскость α в некоторой точке F.

Поскольку по условию прямые $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN \parallel PQ$), через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, все четыре точки M, N, P, Q лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $MP$ и $NQ$, проходящие через эти точки, также лежат в плоскости $\beta$.

Далее докажем, что прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. Предположим обратное: пусть $MP \parallel NQ$. Так как у четырехугольника $MNQP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ по условию и $MP \parallel NQ$ по нашему предположению), то $MNQP$ — параллелограмм. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон, то есть должно выполняться равенство $MN = PQ$.

Однако, согласно условию задачи, $MN = 10$ см, а $PQ = 6$ см. Так как $10 \neq 6$, то $MN \neq PQ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны.

Поскольку прямые $MP$ и $NQ$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $F$.

По условию точки $N$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, прямая $NQ$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Так как точка $F$ является точкой пересечения прямых $MP$ и $NQ$, она принадлежит прямой $NQ$. А раз прямая $NQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Найдите отрезок QF.

Рассмотрим треугольники $\triangle FQP$ и $\triangle FNM$, которые лежат в плоскости $\beta$. Так как по условию $PQ \parallel MN$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle F$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle FQP = \angle FNM$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $MN$ и секущей $FN$.

Из подобия треугольников ($\triangle FQP \sim \triangle FNM$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN} $

Нам известны длины $PQ = 6$ см, $MN = 10$ см и $NQ = 4$ см. Длина отрезка $NF$ складывается из длин отрезков $NQ$ и $QF$: $NF = NQ + QF = 4 + QF$.

Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{6}{10} $

Решим это уравнение. Для начала сократим дробь в правой части: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $. $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{3}{5} $

Применим основное свойство пропорции: $ 5 \cdot QF = 3 \cdot (4 + QF) $ $ 5 \cdot QF = 12 + 3 \cdot QF $ $ 5 \cdot QF - 3 \cdot QF = 12 $ $ 2 \cdot QF = 12 $ $ QF = \frac{12}{2} $ $ QF = 6 $ см.

Ответ: $QF = 6$ см.