Номер 13, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

13 На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые:

а) $AA_1$ и $B_1C_1$;

б) $A_1D_1$ и $DC$;

в) $AC$ и $BD_1$ —

являются скрещивающимися.

Доказательство.

а) Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $B_1C_1D_1$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость __________________________, причем $A_1 \notin B_1C_1$,

так как __________________________, поэтому,

согласно ____________________________________________________,

______________________, прямые $AA_1$ и $B_1C_1$

являются __________________________________________________________

б) ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

в) ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

а) Докажем, что прямые $AA_1$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, используя признак скрещивающихся прямых.
Рассмотрим плоскость верхней грани куба $(A_1B_1C_1)$. Прямая $B_1C_1$ лежит в этой плоскости. Прямая $AA_1$ пересекает плоскость $(A_1B_1C_1)$ в точке $A_1$. Точка $A_1$ не принадлежит прямой $B_1C_1$, так как $A_1, B_1, C_1$ являются тремя последовательными вершинами квадрата $A_1B_1C_1D_1$.
Согласно признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Следовательно, прямые $AA_1$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися.

б) Докажем, что прямые $A_1D_1$ и $DC$ являются скрещивающимися.
Рассмотрим плоскость задней грани куба $(ADD_1)$. Прямая $A_1D_1$ лежит в этой плоскости. Прямая $DC$ пересекает плоскость $(ADD_1)$ в точке $D$, поскольку ребро $DC$ перпендикулярно грани $(ADD_1)$. Точка пересечения $D$ не принадлежит прямой $A_1D_1$.
Так как прямая $DC$ пересекает плоскость $(ADD_1)$ в точке $D$, которая не лежит на находящейся в этой плоскости прямой $A_1D_1$, то по признаку скрещивающихся прямых прямые $A_1D_1$ и $DC$ являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано, что прямые $A_1D_1$ и $DC$ являются скрещивающимися.

в) Докажем, что прямые $AC$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.
Рассмотрим плоскость нижнего основания куба $(ABC)$. Прямая $AC$ (диагональ основания) полностью лежит в этой плоскости. Прямая $BD_1$ (диагональ куба) пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $B$. Точка $B$ не принадлежит прямой $AC$, так как $A, B, C$ – вершины квадрата $ABCD$ и не лежат на одной прямой.
Так как прямая $BD_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в точке $B$, не лежащей на прямой $AC$, которая находится в этой плоскости, то по признаку скрещивающихся прямых прямые $AC$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.