Номер 11, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

11 Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям (задача 25 учебника).

Доказательство.

На рисунке плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$ и $b \parallel a$. Докажем, что $b \parallel \alpha$ и $b \parallel \beta$.

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а $b \parallel a$, следовательно, $b \parallel \alpha$ по __________.

__________ . Аналогично, прямая $a$
лежит __________ и __________,
поэтому __________.

Итак, прямая $b$ параллельна обеим
пересекающимся плоскостям __________ и __________.

Доказательство.

На рисунке плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по прямой $ a $ и дано, что $ b \parallel a $. Докажем, что $ b \parallel \alpha $ и $ b \parallel \beta $.

Прямая $ a $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ a \subset \alpha $). Так как прямая $ b $, не лежащая в плоскости $ \alpha $, параллельна прямой $ a $, лежащей в этой плоскости ($ b \parallel a $), следовательно, $ b \parallel \alpha $ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Аналогично, прямая $ a $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ a \subset \beta $). И так как прямая $ b $, не лежащая в плоскости $ \beta $, параллельна прямой $ a $, лежащей в этой плоскости, поэтому $ b \parallel \beta $ по тому же признаку.

Итак, прямая $ b $ параллельна обеим пересекающимся плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на двукратном применении признака параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
1. Так как прямая $ b $ параллельна прямой $ a $, а прямая $ a $ лежит в плоскости $ \alpha $, то прямая $ b $ параллельна плоскости $ \alpha $.
2. Так как прямая $ b $ параллельна прямой $ a $, а прямая $ a $ лежит также и в плоскости $ \beta $, то прямая $ b $ параллельна плоскости $ \beta $.
Таким образом, прямая $ b $ параллельна обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $.