Номер 7, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Вершина $Q$ параллелограмма $MNPQ$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $M$, $N$ и $P$ не лежат в этой плоскости. Докажите, что прямые $NM$ и $NP$ пересекают плоскость $\alpha$.

Доказательство.

Прямая $PQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$, так как $Q \in \alpha$, поэтому, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми,

прямая $NM$, параллельная __________, также

Прямая $MQ$ пересекает __________ , поэтому

прямая $NP$ __________ , что и требовалось доказать.

Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве. Решение основывается на свойствах параллелограмма и лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Обоснование:

1. По свойству параллелограмма $MNPQ$ его противоположные стороны параллельны, то есть $NM \parallel PQ$ и $NP \parallel MQ$.

2. Согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

3. Прямая $PQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$, так как по условию $Q \in \alpha$. Поскольку прямая $NM$ параллельна прямой $PQ$ ($NM \parallel PQ$), то по указанной лемме прямая $NM$ также пересекает плоскость $\alpha$. Это позволяет заполнить первую часть пропусков.

4. Аналогично, прямая $MQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$ (так как $Q \in \alpha$). Поскольку прямая $NP$ параллельна прямой $MQ$ ($NP \parallel MQ$), то по той же лемме прямая $NP$ также пересекает плоскость $\alpha$. Это позволяет заполнить вторую часть пропусков.

Ответ:

Доказательство. Прямая PQ пересекает плоскость $\alpha$ в точке Q, так как $Q \in \alpha$, поэтому, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая NM, параллельная прямой PQ, также пересекает плоскость $\alpha$.
Прямая MQ пересекает плоскость $\alpha$ в точке Q, поэтому прямая NP также пересекает плоскость $\alpha$, что и требовалось доказать.