Страница 8 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Вершина $Q$ параллелограмма $MNPQ$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $M$, $N$ и $P$ не лежат в этой плоскости. Докажите, что прямые $NM$ и $NP$ пересекают плоскость $\alpha$.

Доказательство.

Прямая $PQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$, так как $Q \in \alpha$, поэтому, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми,

прямая $NM$, параллельная __________, также

Прямая $MQ$ пересекает __________ , поэтому

прямая $NP$ __________ , что и требовалось доказать.

Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве. Решение основывается на свойствах параллелограмма и лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Обоснование:

1. По свойству параллелограмма $MNPQ$ его противоположные стороны параллельны, то есть $NM \parallel PQ$ и $NP \parallel MQ$.

2. Согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

3. Прямая $PQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$, так как по условию $Q \in \alpha$. Поскольку прямая $NM$ параллельна прямой $PQ$ ($NM \parallel PQ$), то по указанной лемме прямая $NM$ также пересекает плоскость $\alpha$. Это позволяет заполнить первую часть пропусков.

4. Аналогично, прямая $MQ$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$ (так как $Q \in \alpha$). Поскольку прямая $NP$ параллельна прямой $MQ$ ($NP \parallel MQ$), то по той же лемме прямая $NP$ также пересекает плоскость $\alpha$. Это позволяет заполнить вторую часть пропусков.

Ответ:

Доказательство. Прямая PQ пересекает плоскость $\alpha$ в точке Q, так как $Q \in \alpha$, поэтому, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая NM, параллельная прямой PQ, также пересекает плоскость $\alpha$.
Прямая MQ пересекает плоскость $\alpha$ в точке Q, поэтому прямая NP также пересекает плоскость $\alpha$, что и требовалось доказать.

Лемма. Если одна из двух __________ прямых пересекает данную плоскость, то и __________ эту плоскость.

Дано: $a \parallel b$, $M$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Доказать: прямая $b$ __________

Доказательство. Пусть $\beta$ — плоскость, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$. Так как $M \in \alpha$, $M \in \beta$, то __________ плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $p$, проходящей через __________ . Таким образом, в плоскости $\beta$ прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке __________ , а потому она __________ и параллельную ей __________ в некоторой точке $N$, причем точка $N \in \alpha$, так как __________ . Итак, $N$ — общая точка прямой __________ и плоскости __________ . Других общих точек с плоскостью $\alpha$ прямая $b$ не имеет. Действительно, если предположить, что прямая $b$ __________ еще одну __________ , прямая $b$ будет целиком лежать в __________ , а значит, будет общей прямой __________ и потому совпадет __________ . Но это невозможно, так как по условию $a \parallel b$, а прямые $a$ и $p$ __________ . Лемма доказана.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Дано: $a \parallel b$, $M$ — точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

Доказать: прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Доказательство. Пусть $\beta$ — плоскость, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$. Так как $M \in \alpha$, $M \in \beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $p$, проходящей через точку $M$. Таким образом, в плоскости $\beta$ прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке $M$, а потому она пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке $N$, причем точка $N \in \alpha$, так как прямая $p$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Итак, $N$ — общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Других общих точек с плоскостью $\alpha$ прямая $b$ не имеет. Действительно, если предположить, что прямая $b$ имеет еще одну общую точку, то, согласно аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости), прямая $b$ будет целиком лежать в плоскости $\alpha$, а значит, будет общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и потому совпадет с прямой $p$. Но это невозможно, так как по условию $a \parallel b$, а прямые $a$ и $p$ пересекаются. Лемма доказана.

Ответ: В пропуски в тексте необходимо вставить следующие слова и словосочетания в указанном порядке:

1. параллельных
2. другая пересекает
3. пересекает плоскость $\alpha$
4. точку $M$
5. $M$
6. пересекает
7. прямую $b$
8. прямая $p$ целиком лежит в плоскости $\alpha$
9. $b$
10. $\alpha$
11. имеет
12. общую точку
13. аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости)
14. плоскости $\alpha$
15. плоскостей $\alpha$ и $\beta$
16. с прямой $p$
17. пересекаются