Страница 6 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

3 Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые $MQ$ и $NP$ пересекаться?

Ответ. ___________. Если бы прямые $MQ$ и $NP$ пересекались, то, согласно _____________, эти прямые лежали бы в ____________ плоскости, а поэтому точки ____________ также лежали бы в этой плоскости, что противоречит ____________.

Ответ. Нет. Если бы прямые $MQ$ и $NP$ пересекались, то, согласно следствию из аксиом стереометрии (через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость), эти прямые лежали бы в одной плоскости. А поэтому и все точки, определяющие эти прямые, то есть точки $M$, $N$, $P$ и $Q$, также лежали бы в этой плоскости. Это противоречит условию задачи, согласно которому точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ не лежат в одной плоскости. Следовательно, предположение о том, что прямые пересекаются, неверно.
Ответ: нет.

На рисунке прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $P$ и пересекающие прямые $a$ и $b$ в каких-то точках $X$ и $Y$, лежат в одной плоскости.

Доказательство.

По через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит некоторая плоскость $\alpha$, причем $X \in \alpha$ и $Y \in \alpha$, так как прямые $a$ и $b$.

Поэтому, согласно , прямая $XY$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, все рассматриваемые прямые лежат в .

Доказательство.

Это утверждение является следствием основных аксиом и теорем стереометрии. Приведем развернутое доказательство.

1. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, через прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $P$, можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, целиком лежат в этой плоскости ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. Рассмотрим любую прямую (обозначим ее $c$), которая удовлетворяет условиям задачи: она не проходит через точку $P$, но пересекает прямую $a$ в некоторой точке $X$ и прямую $b$ в некоторой точке $Y$.

3. Так как точка $X$ лежит на прямой $a$ ($X \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то по определению принадлежности точка $X$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($X \in \alpha$).

4. Аналогично, так как точка $Y$ лежит на прямой $b$ ($Y \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), то и точка $Y$ лежит в плоскости $\alpha$ ($Y \in \alpha$).

5. Прямая $c$ проходит через точки $X$ и $Y$. Эти точки различны ($X \ne Y$), потому что если бы они совпадали, то эта общая точка принадлежала бы одновременно прямым $a$ и $b$, а значит, совпадала бы с точкой их пересечения $P$. Но по условию прямая $c$ не проходит через $P$.

6. Итак, мы имеем две различные точки прямой $c$ ($X$ и $Y$), которые лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

7. Поскольку плоскость $\alpha$ была определена однозначно парой пересекающихся прямых $a$ и $b$, а прямая $c$ была выбрана произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, то все такие прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Таким образом, пропуски в тексте из задания заполняются следующим образом:

«По теореме о двух пересекающихся прямых через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит некоторая плоскость $\alpha$, причем $X \in \alpha$ и $Y \in \alpha$, так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.»

«Поэтому, согласно аксиоме о принадлежности прямой плоскости, прямая $XY$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, все рассматриваемые прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.»

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, не проходящие через точку $P$ и пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости $\alpha$, которая однозначно определяется прямыми $a$ и $b$.

5 На рисунке точки A, B, C и D лежат в плоскости $\alpha$, а точка M не лежит в этой плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и D, C, M?

Ответ. _____. Плоскости $ABM$ и $DCM$ имеют общую ______, а потому, согласно ______, они имеют ______. Т. е. ______.

Для решения задачи определим, имеют ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и D, C, M, общие точки. Обозначим эти плоскости как (ABM) и (DCM).

1. По определению, плоскость (ABM) содержит точки A, B и M. Следовательно, точка M принадлежит этой плоскости: $M \in (ABM)$.

2. Аналогично, плоскость (DCM) содержит точки D, C и M. Следовательно, точка M принадлежит и второй плоскости: $M \in (DCM)$.

3. Мы установили, что точка M является общей для обеих плоскостей.

4. Согласно одной из аксиом стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку.

5. Плоскости (ABM) и (DCM) являются различными. Если бы они совпадали, то все точки (A, B, C, D, M) лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию задачи, согласно которому точка M не лежит в плоскости α, где находятся точки A, B, C и D.

6. Поскольку плоскости (ABM) и (DCM) различны и имеют общую точку M, они пересекаются.

Исходя из этого, заполняем пропуски в предложенном тексте.

Ответ. Да. Плоскости ABM и DCM имеют общую точку M, а потому, согласно аксиоме о пересечении плоскостей, они имеют общую прямую, т. е. пересекаются.