Номер 4, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

На рисунке прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $P$ и пересекающие прямые $a$ и $b$ в каких-то точках $X$ и $Y$, лежат в одной плоскости.

Доказательство.

По через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит некоторая плоскость $\alpha$, причем $X \in \alpha$ и $Y \in \alpha$, так как прямые $a$ и $b$.

Поэтому, согласно , прямая $XY$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, все рассматриваемые прямые лежат в .

Доказательство.

Это утверждение является следствием основных аксиом и теорем стереометрии. Приведем развернутое доказательство.

1. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, через прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $P$, можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, целиком лежат в этой плоскости ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).

2. Рассмотрим любую прямую (обозначим ее $c$), которая удовлетворяет условиям задачи: она не проходит через точку $P$, но пересекает прямую $a$ в некоторой точке $X$ и прямую $b$ в некоторой точке $Y$.

3. Так как точка $X$ лежит на прямой $a$ ($X \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то по определению принадлежности точка $X$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($X \in \alpha$).

4. Аналогично, так как точка $Y$ лежит на прямой $b$ ($Y \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), то и точка $Y$ лежит в плоскости $\alpha$ ($Y \in \alpha$).

5. Прямая $c$ проходит через точки $X$ и $Y$. Эти точки различны ($X \ne Y$), потому что если бы они совпадали, то эта общая точка принадлежала бы одновременно прямым $a$ и $b$, а значит, совпадала бы с точкой их пересечения $P$. Но по условию прямая $c$ не проходит через $P$.

6. Итак, мы имеем две различные точки прямой $c$ ($X$ и $Y$), которые лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

7. Поскольку плоскость $\alpha$ была определена однозначно парой пересекающихся прямых $a$ и $b$, а прямая $c$ была выбрана произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, то все такие прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Таким образом, пропуски в тексте из задания заполняются следующим образом:

«По теореме о двух пересекающихся прямых через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит некоторая плоскость $\alpha$, причем $X \in \alpha$ и $Y \in \alpha$, так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.»

«Поэтому, согласно аксиоме о принадлежности прямой плоскости, прямая $XY$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, все рассматриваемые прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.»

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, не проходящие через точку $P$ и пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости $\alpha$, которая однозначно определяется прямыми $a$ и $b$.