Теорема 3, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они

Дано: $a \parallel c, b \parallel c$.

Доказать:

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1) лежат в одной

2) не

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме

прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет __________, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в __________. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы __________, параллельные __________, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано: $a \parallel c$, $b \parallel c$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1) лежат в одной плоскости;

2) не пересекаются.

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет пересекать плоскость $\alpha$, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные прямой $c$, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.

Ответ:

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано: $a \parallel c, b \parallel c$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство. Нужно доказать, что прямые $a$ и $b$:

1. лежат в одной плоскости;
2. не пересекаются.

1) Пусть $K$ — какая-нибудь точка на прямой $b$. Плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку $K$, обозначим буквой $\alpha$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, так как если предположить, что она пересекает плоскость $\alpha$, то, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $c$ также будет пересекать плоскость $\alpha$. Но $a \parallel c$, поэтому и прямая $a$ будет пересекать плоскость $\alpha$, что невозможно, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

2) Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные прямой $c$, что невозможно.

Итак, $a \parallel b$.

Теорема доказана.