Страница 3 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

A₁ Через любые три точки, __________, проходит плоскость, и притом __________

__________

A₁.

Данное предложение является формулировкой одной из основных аксиом стереометрии, которая определяет условия, при которых через три точки можно провести плоскость, и сколько таких плоскостей существует.

Полная и точная формулировка этой аксиомы звучит так: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Разберем, почему необходимо вставить именно эти фразы:

1. Пропуск после "Через любые три точки,". Здесь указывается ключевое условие, которому должны удовлетворять эти три точки. Если выбрать три точки, которые лежат на одной прямой (такие точки называются коллинеарными), то через эту прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Чтобы избежать этой неопределенности и однозначно задать плоскость, точки не должны лежать на одной прямой. Поэтому в первый пропуск необходимо вставить фразу: не лежащие на одной прямой.

2. Пропуск после "..., проходит плоскость, и притом". Эта часть аксиомы утверждает единственность плоскости. Если условие о том, что три точки не лежат на одной прямой, выполняется, то существует ровно одна плоскость, которая проходит через все эти три точки. Никакой другой плоскости, содержащей эти же три точки, не существует. Поэтому во второй пропуск необходимо вставить фразу: только одна.

Таким образом, мы восстанавливаем полную формулировку фундаментальной аксиомы геометрии.

Ответ: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

$A_2$. Если две точки прямой лежат в плоскости, то _______ лежат в этой плоскости.

A₂

Данное предложение является неполной формулировкой одной из ключевых аксиом стереометрии. Эта аксиома, часто обозначаемая как аксиома A₂, устанавливает фундаментальное свойство принадлежности прямой к плоскости.

Смысл этой аксиомы заключается в том, что если две различные точки некоторой прямой лежат в плоскости, то и вся прямая, проходящая через эти две точки, целиком лежит в этой же плоскости. Другими словами, все без исключения точки данной прямой являются точками данной плоскости.

Чтобы правильно заполнить пропуски в утверждении "Если две точки прямой лежат в плоскости, то ______ ______ лежат в этой плоскости", необходимо проанализировать его грамматическую и смысловую структуру. Глагол "лежат" стоит в форме множественного числа, что требует подлежащего также во множественном числе. Согласно содержанию аксиомы, речь идет о всех точках прямой. Поэтому логичным и правильным подлежащим будет словосочетание "все точки этой прямой".

Разместив это словосочетание в пропусках, мы получаем полную и верную формулировку аксиомы: "Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости."

Ответ: в первый пропуск следует вписать слова все точки, а во второй — этой прямой.

A₃. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _______ , на которой лежат _______ _______ этих плоскостей.

A₃.

Это задание на знание одной из основных аксиом стереометрии, а именно аксиомы о пересечении двух плоскостей. Она описывает, как могут располагаться две плоскости в пространстве относительно друг друга.

Формулировка аксиомы звучит так: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Следствием этой аксиомы является то, что все точки, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям, лежат на этой одной прямой. Иначе говоря, эта прямая является множеством всех общих точек данных плоскостей.

Исходя из этого, заполним пропуски в предложении:

1. В первый пропуск необходимо вставить словосочетание, обозначающее то, что имеют две плоскости при наличии одной общей точки. Согласно аксиоме, они имеют общую прямую. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$. Тогда они пересекаются по прямой $a$, причем $A \in a$.

2. Во второй пропуск нужно вставить то, что лежит на этой общей прямой. На этой прямой лежат все общие точки этих двух плоскостей. То есть, если точка $B$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$, то она обязательно принадлежит и прямой $a$.

Таким образом, полностью предложение выглядит следующим образом:

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Ответ: общую прямую, все общие точки.