Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

9 Сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит

в плоскости $\alpha$, а вершина $C \notin \alpha$, точки $M$

и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $MN \parallel \alpha$.

Доказательство.

Так как $MN$ —

средняя линия _________, то

$MN \parallel AB$, а потому, согласно ________,

_________, $MN \parallel \alpha$.

По условию задачи, точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, $MN \parallel AB$.

Из условия известно, что сторона $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ (то есть прямая $AB \subset \alpha$), а вершина $C$ не лежит в этой плоскости ($C \notin \alpha$). Поскольку $C \notin \alpha$, то и прямая $MN$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Так как прямая $MN$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $AB$, которая лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $MN$ параллельна плоскости $\alpha$. То есть, $MN \parallel \alpha$, что и требовалось доказать.

Пропущенные в тексте доказательства на изображении части:

1. ...средняя линия треугольника ABC, то...
2. ...а потому, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, $MN \parallel \alpha$.

Ответ: Доказано, что $MN \parallel \alpha$.

10 На рисунке $m \parallel \alpha$, $P \in \alpha$. Докажите, что в плоскости $\alpha$ существует прямая, проходящая через точку $P$ и параллельная прямой $m$.

Доказательство.

Прямая $m$ и не лежащая точка $P$ задают некоторую $\beta$.

Так как $P \in \alpha$ и $P \in \beta$, то, согласно , плоскости $\alpha$ и $\beta$ по некоторой прямой $q$, проходящей через . Докажем, что $q$ — искомая прямая. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$, параллельную и пересекает по прямой $q$, следовательно,

Доказательство. Прямая $m$ и не лежащая на ней точка $P$ задают некоторую плоскость $\beta$. Так как $P \in \alpha$ и $P \in \beta$, то, согласно аксиоме о пересечении плоскостей, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $q$, проходящей через точку $P$. Докажем, что $q$ — искомая прямая. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает эту плоскость по прямой $q$, следовательно, $q \parallel m$.

Ответ: Пропуски в доказательстве заполнены следующими словами и выражениями: не лежащая на ней; плоскость; аксиоме о пересечении плоскостей; пересекаются; точку P; плоскости $\alpha$; эту плоскость; $q \parallel m$.

11 Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям (задача 25 учебника).

Доказательство.

На рисунке плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$ и $b \parallel a$. Докажем, что $b \parallel \alpha$ и $b \parallel \beta$.

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а $b \parallel a$, следовательно, $b \parallel \alpha$ по __________.

__________ . Аналогично, прямая $a$
лежит __________ и __________,
поэтому __________.

Итак, прямая $b$ параллельна обеим
пересекающимся плоскостям __________ и __________.

Доказательство.

На рисунке плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по прямой $ a $ и дано, что $ b \parallel a $. Докажем, что $ b \parallel \alpha $ и $ b \parallel \beta $.

Прямая $ a $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ a \subset \alpha $). Так как прямая $ b $, не лежащая в плоскости $ \alpha $, параллельна прямой $ a $, лежащей в этой плоскости ($ b \parallel a $), следовательно, $ b \parallel \alpha $ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Аналогично, прямая $ a $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ a \subset \beta $). И так как прямая $ b $, не лежащая в плоскости $ \beta $, параллельна прямой $ a $, лежащей в этой плоскости, поэтому $ b \parallel \beta $ по тому же признаку.

Итак, прямая $ b $ параллельна обеим пересекающимся плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на двукратном применении признака параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
1. Так как прямая $ b $ параллельна прямой $ a $, а прямая $ a $ лежит в плоскости $ \alpha $, то прямая $ b $ параллельна плоскости $ \alpha $.
2. Так как прямая $ b $ параллельна прямой $ a $, а прямая $ a $ лежит также и в плоскости $ \beta $, то прямая $ b $ параллельна плоскости $ \beta $.
Таким образом, прямая $ b $ параллельна обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $.