Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

12 Сторона $AC$ треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$, а стороны $AB$ и $BC$ пересекаются с этой плоскостью в точках $M$ и $N$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны (задача 26 учебника).

На рисунке плоскость $ABC$ проходит через прямую ______, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает ее по ______, а потому следовательно, ______, а потому

Доказательство.

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$.

По условию задачи, сторона $AC$ треугольника $ABC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$).

Плоскость треугольника $ABC$ проходит через прямую $AC$, которая параллельна плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой, проходящей через точки $M$ и $N$. Назовем эту прямую $MN$.

Согласно свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Из этого следует, что прямая $AC$ параллельна прямой $MN$ ($AC \parallel MN$).

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $MBN$:

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle BAC$ и $\angle BMN$ являются соответственными при параллельных прямых $AC$ и $MN$ и секущей $AB$. Следовательно, они равны: $\angle BAC = \angle BMN$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то по первому признаку подобия треугольников, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $MBN$ ($\triangle ABC \sim \triangle MBN$).

Заполним пропуски в тексте из задания, основываясь на приведенном выше доказательстве:

На рисунке плоскость ABC проходит через прямую AC, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает ее по прямой MN, следовательно, $AC \parallel MN$, а потому треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны, так как по свойству параллельных прямой и плоскости линия их пересечения $MN$ параллельна прямой $AC$. Это, в свою очередь, гарантирует равенство соответственных углов ($\angle BAC = \angle BMN$) при общем угле $\angle B$, что является достаточным условием для подобия треугольников.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая __________________ в точке, ___________________, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: прямая AB лежит в плоскости $\alpha$, прямая CD пересекает плоскость $\alpha$, $C \in \alpha$, $C \notin AB$.

Доказать: прямые AB и CD — _____________________.

Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не ______________________. Тогда они будут лежать в некоторой $\beta$. Так как в этой плоскости будут лежать прямая AB и точка C, то плоскость $\beta$ совпадет с ___________________, а значит, прямая CD _________________________, что противоречит __________________________.

. Теорема доказана.

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Объяснение: Это стандартная формулировка признака скрещивающихся прямых. Условие того, что прямые $d_1$ и $d_2$ скрещиваются, состоит из двух частей:
1) Прямая $d_1$ лежит в некоторой плоскости $\alpha$ ($d_1 \subset \alpha$).
2) Другая прямая $d_2$ пересекает эту плоскость $\alpha$ в точке $M$, которая не принадлежит первой прямой $d_1$ ($M = d_2 \cap \alpha$ и $M \notin d_1$).
Именно эти два условия и были вставлены в пропуски в тексте теоремы.

Ответ: В первый пропуск необходимо вставить "пересекает эту плоскость", во второй — "не лежащей на первой прямой".

Доказать

Прямые AB и CD — скрещивающиеся.

Объяснение: Теорема является признаком скрещивающихся прямых, поэтому её заключение состоит в том, что при выполнении заданных условий прямые являются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

Доказательство

Допустим, что прямые AB и CD не скрещивающиеся. Тогда они будут лежать в некоторой плоскости β. Так как в этой плоскости β будут лежать прямая AB и точка C, то плоскость β совпадет с плоскостью α, а значит, прямая CD лежит в плоскости α, что противоречит условию. Теорема доказана.

Объяснение шагов доказательства (заполненных пропусков):
- скрещивающиеся: Доказательство ведется методом "от противного", поэтому мы делаем предположение, обратное тому, что требуется доказать.
- плоскости: Если две прямые не скрещиваются, то они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях они лежат в одной плоскости (по определению компланарных прямых). В тексте доказательства эта плоскость обозначается буквой β.
- плоскостью α: По нашему допущению, плоскость β содержит прямую AB и прямую CD, а значит и точку C, которая лежит на прямой CD. По условию задачи, плоскость α также содержит прямую AB и точку C (дано, что $C \in \alpha$ и $C \notin AB$). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно, плоскости α и β, проходящие через прямую AB и точку C, должны совпадать ($α = β$).
- лежит в плоскости α: Это является прямым следствием предыдущего пункта. Если прямая CD лежит в плоскости β (согласно нашему допущению), а плоскость β совпадает с плоскостью α, то прямая CD лежит и в плоскости α.
- условию: Полученный вывод (что прямая CD лежит в плоскости α) напрямую противоречит условию задачи, где сказано, что прямая CD пересекает плоскость α (т.е. имеет с ней лишь одну общую точку C). Лежать в плоскости и пересекать плоскость в одной точке — это взаимоисключающие понятия. Это противоречие доказывает, что наше первоначальное допущение было неверным, а значит, теорема верна.

Ответ: скрещивающиеся; плоскости; плоскостью α; лежит в плоскости α; условию.